Страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой:

а) $BB_1$;

б) $BA_1$;

в) $BC$;

г) $CD$;

д) $DE$;

е) $BD$;

ж) $BE$;

з) $BF$;

и) $CE$;

к) $CF$;

л) $A_1 B_1$.

Рис. 10.9

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Все ребра равны $1$.

Перевод в СИ:

Сторона основания $a = 1 \text{ ед.}$.

Высота призмы $h = 1 \text{ ед.}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямых:

а) $BB_1$

б) $BA_1$

в) $BC$

г) $CD$

д) $DE$

е) $BD$

ж) $BE$

з) $BF$

и) $CE$

к) $CF$

л) $A_1B_1$

Решение:

Все ребра призмы равны $1$. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$:

• Короткая диагональ (например, $AC$) равна $a\sqrt{3}$.
• Длинная диагональ (например, $AD$) равна $2a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому короткая диагональ равна $\sqrt{3}$, а длинная диагональ равна $2$.

а) BB_1

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, перпендикулярным плоскости основания $ABCDEF$. Точка $A$ лежит в этой плоскости. Расстояние от точки $A$ до прямой $BB_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на $BB_1$. Поскольку $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, отрезок $AB$ является таким перпендикуляром (так как $AB$ лежит в плоскости основания и $BB_1 \perp AB$).

Длина отрезка $AB$ равна $1$ (сторона основания).

Ответ: $1$

б) BA_1

Рассмотрим треугольник $ABA_1$. Это прямоугольный треугольник, так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, $AA_1 \perp AB$. Катеты треугольника: $AB=1$ и $AA_1=1$. Гипотенуза $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ — это высота $h_A$, опущенная из вершины $A$ на гипотенузу $BA_1$ в треугольнике $ABA_1$. Площадь треугольника $ABA_1$ может быть вычислена как $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1$ или как $\frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot h_A$.

Приравнивая выражения для площади: $AB \cdot AA_1 = BA_1 \cdot h_A$.

$1 \cdot 1 = \sqrt{2} \cdot h_A$

$h_A = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) BC

Точка $A$ и прямая $BC$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Угол $\angle ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Расстояние от $A$ до $BC$ — это длина перпендикуляра $AH$, опущенного из $A$ на прямую $BC$. Рассмотрим треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным к углу $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Треугольник $ABH$ — прямоугольный с гипотенузой $AB=1$.

$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) CD

Точка $A$ и прямая $CD$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Рассмотрим треугольник $ACD$. Стороны: $AC$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$, $CD$ (сторона шестиугольника) равна $1$, $AD$ (длинная диагональ) равна $2$.

Проверим соотношение сторон для определения типа треугольника $ACD$:

$CD^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$AD^2 = 2^2 = 4$.

Так как $CD^2 + AC^2 = AD^2$, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($AC \perp CD$).

Следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой $CD$ — это длина отрезка $AC$, так как $AC$ перпендикулярен $CD$.

$AC = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

д) DE

Точка $A$ и прямая $DE$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Расстояние от точки $A$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$. Это расстояние равно удвоенной высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$, которая образует шестиугольник (т.е. удвоенной апофеме). Или, это $2 \cdot (a \frac{\sqrt{3}}{2}) = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

е) BD

Точка $A$ и прямая $BD$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Рассмотрим треугольник $ABD$. Стороны: $AB$ (сторона) равна $1$, $BD$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$, $AD$ (длинная диагональ) равна $2$.

Проверим соотношение сторон для определения типа треугольника $ABD$:

$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$AD^2 = 2^2 = 4$.

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($AB \perp BD$).

Следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой $BD$ — это длина отрезка $AB$, так как $AB$ перпендикулярен $BD$.

$AB = 1$.

Ответ: $1$

ж) BE

Точка $A$ и прямая $BE$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Прямая $BE$ является длинной диагональю шестиугольника, проходящей через его центр $O$. Длина $BE=2$. Шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a=1$, сходящихся в центре $O$. Точка $A$ является вершиной одного из таких треугольников, например, $\triangle ABO$. Расстояние от $A$ до прямой $BE$ — это высота равностороннего треугольника $ABO$, опущенная из $A$ на сторону $BO$ (которая является частью прямой $BE$).

Высота равностороннего треугольника со стороной $a=1$ равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

з) BF

Точка $A$ и прямая $BF$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). $BF$ — короткая диагональ, $BF=\sqrt{3}$. Рассмотрим треугольник $ABF$. Стороны: $AB=1$, $AF=1$. Угол $\angle FAB = 120^\circ$ (угол правильного шестиугольника). Треугольник $ABF$ — равнобедренный с $AB=AF=1$.

Расстояние от $A$ до $BF$ — это высота $AH$, опущенная из $A$ на сторону $BF$. В равнобедренном треугольнике эта высота является медианой, поэтому $H$ — середина $BF$.

Воспользуемся формулой для высоты в равнобедренном треугольнике или площадью.

Можно также использовать тригонометрию: $\angle AFB = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.

$AH = AF \cdot \sin(\angle AFB) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

и) CE

Точка $A$ и прямая $CE$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). $CE$ — короткая диагональ, $CE=\sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник $ACE$.

Длины сторон: $AC$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$. $AE$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$. $CE$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$.

Следовательно, треугольник $ACE$ является равносторонним со стороной $\sqrt{3}$.

Расстояние от $A$ до $CE$ — это высота равностороннего треугольника $ACE$, опущенная из $A$ на $CE$.

Высота $h = s \frac{\sqrt{3}}{2}$, где $s = \sqrt{3}$.

$h = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

к) CF

Точка $A$ и прямая $CF$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). $CF$ — длинная диагональ, $CF=2$. Рассмотрим треугольник $ACF$.

Длины сторон: $AC$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$. $AF$ (сторона) $=1$. $CF$ (длинная диагональ) $=2$.

Проверим соотношение сторон для определения типа треугольника $ACF$:

$AF^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$CF^2 = 2^2 = 4$.

Так как $AF^2 + AC^2 = CF^2$, треугольник $ACF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($AF \perp AC$).

Расстояние от точки $A$ до прямой $CF$ — это высота $AH$, опущенная из $A$ на гипотенузу $CF$. Площадь треугольника $ACF$ может быть вычислена как $\frac{1}{2} \cdot AF \cdot AC$ или как $\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AH$.

Приравнивая выражения для площади: $AF \cdot AC = CF \cdot AH$.

$1 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot AH$

$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

л) A_1B_1

Прямая $A_1B_1$ находится в верхнем основании призмы, а точка $A$ — в нижнем основании. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно обоим основаниям. Прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$ и параллельна плоскости нижнего основания, в которой лежит точка $A$.

Расстояние от точки $A$ до прямой $A_1B_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на $A_1B_1$. Рассмотрим прямоугольник $ABA_1B_1$. Отрезок $AA_1$ перпендикулярен $A_1B_1$ (поскольку $AA_1$ перпендикулярен плоскости верхнего основания, содержащей $A_1B_1$).

Следовательно, расстояние от $A$ до $A_1B_1$ равно длине $AA_1$, которая равна $1$ (высота призмы).

Ответ: $1$

10.6. В единичном кубе $ABCD, B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки A до прямой $CB_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах (единичный куб), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки A до прямой $CB_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ACB_1$. Необходимо найти расстояние от вершины A до стороны $CB_1$ этого треугольника, что является высотой, опущенной из A на $CB_1$.

1. Найдем длины сторон треугольника $ACB_1$:

• Длина отрезка $AC$ - это диагональ грани $ABCD$. Грань $ABCD$ является квадратом со стороной 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине B) по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

• Длина отрезка $AB_1$ - это диагональ грани $ABB_1A_1$. Грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 1. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ (с прямым углом при вершине B) по теореме Пифагора:

$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

• Длина отрезка $CB_1$ - это диагональ грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1. В прямоугольном треугольнике $BCB_1$ (с прямым углом при вершине C) по теореме Пифагора:

$CB_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2}$ (или $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2}$ так как $CC_1 = BB_1 = 1$) $= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Так как все стороны треугольника $ACB_1$ равны ($AC = AB_1 = CB_1 = \sqrt{2}$), то треугольник $ACB_1$ является равносторонним.

3. Расстояние от точки A до прямой $CB_1$ - это длина высоты $h$, опущенной из вершины A на сторону $CB_1$ в равностороннем треугольнике $ACB_1$. Формула для высоты равностороннего треугольника со стороной $s$ следующая:

$h = s \frac{\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона $s = \sqrt{2}$. Подставим значение $s$ в формулу:

$h = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

10.7. В тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 1 (рис. 10.10). Найдите расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$.

Рис. 10.10

Дано: Тетраэдр $ABCD$. Все ребра равны $a = 1$. Точка $E$ - середина ребра $AD$.

Перевод в СИ: все величины уже представлены в безразмерных единицах, соответствующих системе СИ (например, метры, если принять $a=1$ метр). Дополнительного перевода не требуется.

Найти: Расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$.

Решение

1. Пусть длина ребра тетраэдра $ABCD$ равна $a=1$. Поскольку все ребра равны, данный тетраэдр является правильным (все его грани являются равносторонними треугольниками).

2. Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина ребра $BC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой. Следовательно, $AM \perp BC$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Аналогично, рассмотрим равносторонний треугольник $DBC$. Медиана $DM$ является также высотой, следовательно, $DM \perp BC$. Длина $DM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DM$, лежащим в плоскости $ADM$, то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$.

5. Точка $E$ является серединой ребра $AD$. Поскольку ребро $AD$ лежит в плоскости $ADM$, то точка $E$ также лежит в плоскости $ADM$.

6. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Так как прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$, и точка $E$ лежит в этой плоскости, а точка $M$ является точкой пересечения прямой $BC$ с плоскостью $ADM$, то отрезок $EM$ будет перпендикуляром к прямой $BC$ ($EM \perp BC$). Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $EM$.

7. Рассмотрим треугольник $ADM$. Его стороны: $AD=1$ (так как это ребро тетраэдра), $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (как показано выше). Треугольник $ADM$ является равнобедренным с основанием $AD$.

8. Точка $E$ – середина основания $AD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $EM$ является высотой, опущенной из вершины $M$ на основание $AD$, и $EM \perp AD$.

9. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEM$ (угол $AEM$ равен $90^\circ$). Гипотенуза $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Катет $AE = \frac{AD}{2} = \frac{1}{2}$.

10. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AEM$: $EM^2 = AM^2 - AE^2$. $EM^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$ $EM^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ $EM^2 = \frac{2}{4}$ $EM^2 = \frac{1}{2}$ $EM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

10.8. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки A до прямой $B_1 C_1$.

Рис. 10.7

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$.

Все ребра равны $1$.

Перевод данных в систему СИ: Все данные представлены в безразмерных единицах (относительные длины), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

Решение

1. Рассмотрим треугольник $AB_1C_1$.

2. Определим длины сторон этого треугольника:

- Длина ребра $B_1C_1$ дана: $B_1C_1 = 1$.

- Длина ребра $AB_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$. Катеты $AB=1$ и $BB_1=1$. По теореме Пифагора:

$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

- Длина ребра $AC_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Катеты $AC=1$ и $CC_1=1$. По теореме Пифагора:

$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

3. Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным с $AB_1 = AC_1 = \sqrt{2}$ и основанием $B_1C_1 = 1$.

4. Расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$ — это высота, опущенная из вершины $A$ на основание $B_1C_1$ в треугольнике $AB_1C_1$.

5. Пусть $M$ — середина отрезка $B_1C_1$. Тогда $AM$ перпендикулярно $B_1C_1$, и $AM$ — искомое расстояние.

6. Длина отрезка $MB_1 = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB_1$ (прямой угол при $M$). По теореме Пифагора:

$AM^2 + MB_1^2 = AB_1^2$

$AM^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2$

$AM^2 + \frac{1}{4} = 2$

$AM^2 = 2 - \frac{1}{4}$

$AM^2 = \frac{8}{4} - \frac{1}{4}$

$AM^2 = \frac{7}{4}$

$AM = \sqrt{\frac{7}{4}}$

$AM = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

$AM = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$

10.9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны $1$, а боковые ребра равны $2$ (рис. 10.8). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Рис. 10.8

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $AB = a = 1$.

Боковое ребро $SA = l = 2$.

Найти:

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр $O$ основания. Следовательно, $SO$ - высота пирамиды.

Основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$SO^2 + 1^2 = 2^2$

$SO^2 + 1 = 4$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Теперь найдем длину диагонали $AC$ в основании. В правильном шестиугольнике диагональ, соединяющая вершины через одну (например, $A$ и $C$), имеет длину $a\sqrt{3}$.

$AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Рассмотрим треугольник $AOC$. Он является равнобедренным, так как $OA = OC = 1$. Длина $AC = \sqrt{3}$.

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из $S$ на $AC$. Пусть $M$ - середина $AC$. Тогда $OM \perp AC$ (медиана в равнобедренном треугольнике $AOC$ является также высотой).

По теореме о трех перпендикулярах, так как $SO \perp$ плоскости основания и $OM \perp AC$, то $SM \perp AC$. Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $SM$.

Найдем $OM$. В прямоугольном треугольнике $AOM$ (где $M$ - середина $AC$):

$AM = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По теореме Пифагора:

$OM^2 + AM^2 = OA^2$

$OM^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1^2$

$OM^2 + \frac{3}{4} = 1$

$OM^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$OM = \frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. В нем $SO$ - катет, $OM$ - катет, $SM$ - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2$

$SM^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$SM^2 = 3 + \frac{1}{4}$

$SM^2 = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Ответ:

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ равно $\frac{\sqrt{13}}{2}$.

10.10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$.

Рис. 10.7

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра равны 1.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ (единица измерения).

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки до прямой воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, основание $ABC$ является равносторонним треугольником со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и имеют длину 1. Боковые грани призмы являются квадратами.

Разместим точки следующим образом, чтобы упростить вычисления:

• Точка $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

• Точка $B$ лежит на оси X: $B=(1,0,0)$.

• Точка $C$ лежит в плоскости XY и образует равносторонний треугольник $ABC$ со сторонами 1. Координаты $C$ для равностороннего треугольника со стороной 1, где $A=(0,0,0)$ и $B=(1,0,0)$, будут $C = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

• Точки верхнего основания $A_1, B_1, C_1$ смещены относительно нижнего на 1 единицу по оси Z (поскольку высота призмы равна 1).

• $A_1 = (0,0,1)$.

• $B_1 = (1,0,1)$.

• $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Необходимо найти расстояние от точки $A=(0,0,0)$ до прямой $BC_1$. Для этого воспользуемся формулой расстояния от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$:

$d = \frac{||\vec{P_1P_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$

В нашем случае $P_0 = A = (0,0,0)$, $P_1 = B = (1,0,0)$. Направляющий вектор прямой $BC_1$ это $\vec{v} = \vec{BC_1} = C_1 - B$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем его модуль:

$||\vec{BC_1}|| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем вектор $\vec{P_1P_0}$. В нашем случае $P_1 = B$ и $P_0 = A$, поэтому $\vec{P_1P_0} = \vec{BA} = A - B$:

$\vec{BA} = (0 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{BA} \times \vec{BC_1}$:

$\vec{BA} \times \vec{BC_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{pmatrix}$

$= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))$

$= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}/2)$

$= (0, 1, -\sqrt{3}/2)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{BA} \times \vec{BC_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{||\vec{BA} \times \vec{BC_1}||}{||\vec{BC_1}||} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ:

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC_1$ равно $\frac{\sqrt{14}}{4}$.

10.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки A до прямой:

а) $B_1 F_1$;

б) $B_1 C_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $1$. То есть, $AB=BC=CD=DE=EF=FA=1$ и $AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=EE_1=FF_1=1$.

Поскольку длины ребер даны в безразмерных единицах (или в условных единицах), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

а) Расстояние от точки $A$ до прямой $B_1F_1$.

б) Расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

Решение:

а) Расстояние от точки A до прямой $B_1F_1$

Расстояние от точки до прямой в пространстве определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Точка $A$ находится в нижней плоскости $ABCDEF$, а прямая $B_1F_1$ — в верхней плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Эти плоскости параллельны. Проекцией точки $A$ на верхнюю плоскость является точка $A_1$. Высота призмы $AA_1$ перпендикулярна обеим плоскостям оснований, поэтому $AA_1 = 1$.

Пусть $K$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A_1$ на прямую $B_1F_1$ в плоскости верхнего основания. Тогда $A_1K \perp B_1F_1$. Поскольку $AA_1 \perp$ плоскости верхнего основания, то $AA_1 \perp B_1F_1$. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция $A_1K$ перпендикулярна прямой $B_1F_1$, то и наклонная $AK$ перпендикулярна $B_1F_1$. Таким образом, искомым расстоянием является длина отрезка $AK$.

Треугольник $AA_1K$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$. Для нахождения $AK$ нам необходимы длины $AA_1$ и $A_1K$. $AA_1 = 1$ по условию.

Найдем длину отрезка $A_1K$. Это расстояние от вершины $A_1$ до диагонали $B_1F_1$ правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $1$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1F_1$. Стороны $A_1B_1 = 1$ и $A_1F_1 = 1$ (как стороны правильного шестиугольника). Угол $\angle F_1A_1B_1$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Длина диагонали $B_1F_1$ может быть найдена по теореме косинусов в треугольнике $A_1B_1F_1$:

$B_1F_1^2 = A_1B_1^2 + A_1F_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1F_1 \cdot \cos(120^\circ)$

$B_1F_1^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})$

$B_1F_1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

$B_1F_1 = \sqrt{3}$.

Площадь треугольника $A_1B_1F_1$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:

$S_{A_1B_1F_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1F_1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Также площадь треугольника $A_1B_1F_1$ может быть выражена через основание $B_1F_1$ и высоту $A_1K$:

$S_{A_1B_1F_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1F_1 \cdot A_1K$

Приравнивая выражения для площади:

$\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot A_1K$

Отсюда находим $A_1K$:

$A_1K = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Теперь, используя прямоугольный треугольник $AA_1K$, найдем искомое расстояние $AK$ по теореме Пифагора:

$AK^2 = AA_1^2 + A_1K^2$

$AK^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2$

$AK^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$AK = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

б) Расстояние от точки A до прямой $B_1C_1$

Аналогично пункту а), пусть $M$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A_1$ на прямую $B_1C_1$ в плоскости верхнего основания. Тогда $A_1M \perp B_1C_1$. Искомым расстоянием является длина отрезка $AM$, который является гипотенузой прямоугольного треугольника $AA_1M$ (с прямым углом при вершине $A_1$). Длина $AA_1 = 1$.

Найдем длину отрезка $A_1M$. Это расстояние от вершины $A_1$ до стороны $B_1C_1$ правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $1$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $A_1B_1 = 1$ и $B_1C_1 = 1$. Угол $\angle A_1B_1C_1$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Для нахождения высоты $A_1M$, опущенной из $A_1$ на прямую $B_1C_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1B_1M$. Точка $M$ лежит на продолжении отрезка $B_1C_1$ за точку $B_1$, так как угол $\angle A_1B_1C_1 = 120^\circ$ является тупым.

В прямоугольном треугольнике $A_1B_1M$ (с гипотенузой $A_1B_1 = 1$) угол $\angle A_1B_1M$ является смежным углом к $\angle A_1B_1C_1$. Следовательно, $\angle A_1B_1M = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Тогда длину $A_1M$ найдем как:

$A_1M = A_1B_1 \cdot \sin(\angle A_1B_1M)$

$A_1M = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь, используя прямоугольный треугольник $AA_1M$, найдем искомое расстояние $AM$ по теореме Пифагора:

$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2$

$AM^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$AM^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$AM = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$

10.12. Попробуйте определить понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

Для того чтобы прямая $a$ была перпендикулярна плоскости $\alpha$ (обозначается $a \perp \alpha$), достаточно, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку их пересечения. Если прямая $a$ проходит через точку $P$ плоскости $\alpha$ и перпендикулярна двум несовпадающим прямым $b$ и $c$, лежащим в плоскости $\alpha$ и проходящим через точку $P$, то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Ответ: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

10.13. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, укажите какие-нибудь прямые, перпендикулярные плоскости $ABC$.

Решение

Для куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью грани $ABCD$. По определению куба, все его грани являются квадратами, и все ребра, соединяющие вершины нижнего основания с соответствующими вершинами верхнего основания, перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим прямую $AA_1$. Точка $A$ является ее основанием в плоскости $ABC$. В плоскости $ABC$ (которая является плоскостью квадрата $ABCD$) прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $AB$ и прямой $AD$, так как $AA_1$ является ребром, перпендикулярным грани $ABCD$. Поскольку прямая $AA_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $AD$) в плоскости $ABC$, она перпендикулярна самой плоскости $ABC$.

Аналогично, прямые $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ также являются ребрами, соединяющими вершины нижнего основания с верхним, и по свойствам куба они перпендикулярны плоскости основания $ABCD$, то есть плоскости $ABC$.

Ответ: Прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.