Номер 10.5, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой:

а) $BB_1$;

б) $BA_1$;

в) $BC$;

г) $CD$;

д) $DE$;

е) $BD$;

ж) $BE$;

з) $BF$;

и) $CE$;

к) $CF$;

л) $A_1 B_1$.

Рис. 10.9

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Все ребра равны $1$.

Перевод в СИ:

Сторона основания $a = 1 \text{ ед.}$.

Высота призмы $h = 1 \text{ ед.}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямых:

а) $BB_1$

б) $BA_1$

в) $BC$

г) $CD$

д) $DE$

е) $BD$

ж) $BE$

з) $BF$

и) $CE$

к) $CF$

л) $A_1B_1$

Решение:

Все ребра призмы равны $1$. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$:

• Короткая диагональ (например, $AC$) равна $a\sqrt{3}$.
• Длинная диагональ (например, $AD$) равна $2a$.

В нашем случае $a=1$, поэтому короткая диагональ равна $\sqrt{3}$, а длинная диагональ равна $2$.

а) BB_1

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы, перпендикулярным плоскости основания $ABCDEF$. Точка $A$ лежит в этой плоскости. Расстояние от точки $A$ до прямой $BB_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на $BB_1$. Поскольку $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, отрезок $AB$ является таким перпендикуляром (так как $AB$ лежит в плоскости основания и $BB_1 \perp AB$).

Длина отрезка $AB$ равна $1$ (сторона основания).

Ответ: $1$

б) BA_1

Рассмотрим треугольник $ABA_1$. Это прямоугольный треугольник, так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, $AA_1 \perp AB$. Катеты треугольника: $AB=1$ и $AA_1=1$. Гипотенуза $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ — это высота $h_A$, опущенная из вершины $A$ на гипотенузу $BA_1$ в треугольнике $ABA_1$. Площадь треугольника $ABA_1$ может быть вычислена как $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1$ или как $\frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot h_A$.

Приравнивая выражения для площади: $AB \cdot AA_1 = BA_1 \cdot h_A$.

$1 \cdot 1 = \sqrt{2} \cdot h_A$

$h_A = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) BC

Точка $A$ и прямая $BC$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Угол $\angle ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Расстояние от $A$ до $BC$ — это длина перпендикуляра $AH$, опущенного из $A$ на прямую $BC$. Рассмотрим треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ является смежным к углу $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Треугольник $ABH$ — прямоугольный с гипотенузой $AB=1$.

$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) CD

Точка $A$ и прямая $CD$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Рассмотрим треугольник $ACD$. Стороны: $AC$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$, $CD$ (сторона шестиугольника) равна $1$, $AD$ (длинная диагональ) равна $2$.

Проверим соотношение сторон для определения типа треугольника $ACD$:

$CD^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$AD^2 = 2^2 = 4$.

Так как $CD^2 + AC^2 = AD^2$, треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($AC \perp CD$).

Следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой $CD$ — это длина отрезка $AC$, так как $AC$ перпендикулярен $CD$.

$AC = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

д) DE

Точка $A$ и прямая $DE$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Расстояние от точки $A$ до прямой $DE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $DE$. Это расстояние равно удвоенной высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$, которая образует шестиугольник (т.е. удвоенной апофеме). Или, это $2 \cdot (a \frac{\sqrt{3}}{2}) = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

е) BD

Точка $A$ и прямая $BD$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Рассмотрим треугольник $ABD$. Стороны: $AB$ (сторона) равна $1$, $BD$ (короткая диагональ) равна $\sqrt{3}$, $AD$ (длинная диагональ) равна $2$.

Проверим соотношение сторон для определения типа треугольника $ABD$:

$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$AD^2 = 2^2 = 4$.

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($AB \perp BD$).

Следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой $BD$ — это длина отрезка $AB$, так как $AB$ перпендикулярен $BD$.

$AB = 1$.

Ответ: $1$

ж) BE

Точка $A$ и прямая $BE$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). Прямая $BE$ является длинной диагональю шестиугольника, проходящей через его центр $O$. Длина $BE=2$. Шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a=1$, сходящихся в центре $O$. Точка $A$ является вершиной одного из таких треугольников, например, $\triangle ABO$. Расстояние от $A$ до прямой $BE$ — это высота равностороннего треугольника $ABO$, опущенная из $A$ на сторону $BO$ (которая является частью прямой $BE$).

Высота равностороннего треугольника со стороной $a=1$ равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

з) BF

Точка $A$ и прямая $BF$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). $BF$ — короткая диагональ, $BF=\sqrt{3}$. Рассмотрим треугольник $ABF$. Стороны: $AB=1$, $AF=1$. Угол $\angle FAB = 120^\circ$ (угол правильного шестиугольника). Треугольник $ABF$ — равнобедренный с $AB=AF=1$.

Расстояние от $A$ до $BF$ — это высота $AH$, опущенная из $A$ на сторону $BF$. В равнобедренном треугольнике эта высота является медианой, поэтому $H$ — середина $BF$.

Воспользуемся формулой для высоты в равнобедренном треугольнике или площадью.

Можно также использовать тригонометрию: $\angle AFB = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.

$AH = AF \cdot \sin(\angle AFB) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

и) CE

Точка $A$ и прямая $CE$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). $CE$ — короткая диагональ, $CE=\sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник $ACE$.

Длины сторон: $AC$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$. $AE$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$. $CE$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$.

Следовательно, треугольник $ACE$ является равносторонним со стороной $\sqrt{3}$.

Расстояние от $A$ до $CE$ — это высота равностороннего треугольника $ACE$, опущенная из $A$ на $CE$.

Высота $h = s \frac{\sqrt{3}}{2}$, где $s = \sqrt{3}$.

$h = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

к) CF

Точка $A$ и прямая $CF$ лежат в одной плоскости (плоскости основания). $CF$ — длинная диагональ, $CF=2$. Рассмотрим треугольник $ACF$.

Длины сторон: $AC$ (короткая диагональ) $=\sqrt{3}$. $AF$ (сторона) $=1$. $CF$ (длинная диагональ) $=2$.

Проверим соотношение сторон для определения типа треугольника $ACF$:

$AF^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$CF^2 = 2^2 = 4$.

Так как $AF^2 + AC^2 = CF^2$, треугольник $ACF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($AF \perp AC$).

Расстояние от точки $A$ до прямой $CF$ — это высота $AH$, опущенная из $A$ на гипотенузу $CF$. Площадь треугольника $ACF$ может быть вычислена как $\frac{1}{2} \cdot AF \cdot AC$ или как $\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AH$.

Приравнивая выражения для площади: $AF \cdot AC = CF \cdot AH$.

$1 \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot AH$

$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

л) A_1B_1

Прямая $A_1B_1$ находится в верхнем основании призмы, а точка $A$ — в нижнем основании. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно обоим основаниям. Прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$ и параллельна плоскости нижнего основания, в которой лежит точка $A$.

Расстояние от точки $A$ до прямой $A_1B_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на $A_1B_1$. Рассмотрим прямоугольник $ABA_1B_1$. Отрезок $AA_1$ перпендикулярен $A_1B_1$ (поскольку $AA_1$ перпендикулярен плоскости верхнего основания, содержащей $A_1B_1$).

Следовательно, расстояние от $A$ до $A_1B_1$ равно длине $AA_1$, которая равна $1$ (высота призмы).

Ответ: $1$