Номер 10.11, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки A до прямой:

а) $B_1 F_1$;

б) $B_1 C_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $1$. То есть, $AB=BC=CD=DE=EF=FA=1$ и $AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=EE_1=FF_1=1$.

Поскольку длины ребер даны в безразмерных единицах (или в условных единицах), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

а) Расстояние от точки $A$ до прямой $B_1F_1$.

б) Расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

Решение:

а) Расстояние от точки A до прямой $B_1F_1$

Расстояние от точки до прямой в пространстве определяется как длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Точка $A$ находится в нижней плоскости $ABCDEF$, а прямая $B_1F_1$ — в верхней плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Эти плоскости параллельны. Проекцией точки $A$ на верхнюю плоскость является точка $A_1$. Высота призмы $AA_1$ перпендикулярна обеим плоскостям оснований, поэтому $AA_1 = 1$.

Пусть $K$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A_1$ на прямую $B_1F_1$ в плоскости верхнего основания. Тогда $A_1K \perp B_1F_1$. Поскольку $AA_1 \perp$ плоскости верхнего основания, то $AA_1 \perp B_1F_1$. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция $A_1K$ перпендикулярна прямой $B_1F_1$, то и наклонная $AK$ перпендикулярна $B_1F_1$. Таким образом, искомым расстоянием является длина отрезка $AK$.

Треугольник $AA_1K$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$. Для нахождения $AK$ нам необходимы длины $AA_1$ и $A_1K$. $AA_1 = 1$ по условию.

Найдем длину отрезка $A_1K$. Это расстояние от вершины $A_1$ до диагонали $B_1F_1$ правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $1$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1F_1$. Стороны $A_1B_1 = 1$ и $A_1F_1 = 1$ (как стороны правильного шестиугольника). Угол $\angle F_1A_1B_1$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Длина диагонали $B_1F_1$ может быть найдена по теореме косинусов в треугольнике $A_1B_1F_1$:

$B_1F_1^2 = A_1B_1^2 + A_1F_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1F_1 \cdot \cos(120^\circ)$

$B_1F_1^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2})$

$B_1F_1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

$B_1F_1 = \sqrt{3}$.

Площадь треугольника $A_1B_1F_1$ может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin C$:

$S_{A_1B_1F_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1F_1 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Также площадь треугольника $A_1B_1F_1$ может быть выражена через основание $B_1F_1$ и высоту $A_1K$:

$S_{A_1B_1F_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1F_1 \cdot A_1K$

Приравнивая выражения для площади:

$\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot A_1K$

Отсюда находим $A_1K$:

$A_1K = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Теперь, используя прямоугольный треугольник $AA_1K$, найдем искомое расстояние $AK$ по теореме Пифагора:

$AK^2 = AA_1^2 + A_1K^2$

$AK^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2$

$AK^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$AK = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

б) Расстояние от точки A до прямой $B_1C_1$

Аналогично пункту а), пусть $M$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A_1$ на прямую $B_1C_1$ в плоскости верхнего основания. Тогда $A_1M \perp B_1C_1$. Искомым расстоянием является длина отрезка $AM$, который является гипотенузой прямоугольного треугольника $AA_1M$ (с прямым углом при вершине $A_1$). Длина $AA_1 = 1$.

Найдем длину отрезка $A_1M$. Это расстояние от вершины $A_1$ до стороны $B_1C_1$ правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $1$.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$. Это равнобедренный треугольник со сторонами $A_1B_1 = 1$ и $B_1C_1 = 1$. Угол $\angle A_1B_1C_1$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Для нахождения высоты $A_1M$, опущенной из $A_1$ на прямую $B_1C_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1B_1M$. Точка $M$ лежит на продолжении отрезка $B_1C_1$ за точку $B_1$, так как угол $\angle A_1B_1C_1 = 120^\circ$ является тупым.

В прямоугольном треугольнике $A_1B_1M$ (с гипотенузой $A_1B_1 = 1$) угол $\angle A_1B_1M$ является смежным углом к $\angle A_1B_1C_1$. Следовательно, $\angle A_1B_1M = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Тогда длину $A_1M$ найдем как:

$A_1M = A_1B_1 \cdot \sin(\angle A_1B_1M)$

$A_1M = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь, используя прямоугольный треугольник $AA_1M$, найдем искомое расстояние $AM$ по теореме Пифагора:

$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2$

$AM^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$AM^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$AM = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$