Страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какие две прямые в пространстве называют скрещивающимися?

2. Какие два отрезка в пространстве называют скрещивающимися?

3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

1. Какие две прямые в пространстве называют скрещивающимися? Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что они не пересекаются и не являются параллельными. Ответ:

2. Какие два отрезка в пространстве называют скрещивающимися? Два отрезка в пространстве называются скрещивающимися, если прямые, содержащие эти отрезки, являются скрещивающимися прямыми. Ответ:

3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися. Ответ:

6.1. Верно ли, что если две прямые лежат в разных плоскостях, то они скрещиваются?

Для ответа на этот вопрос необходимо уточнить определение скрещивающихся прямых и понять, что означает фраза "две прямые лежат в разных плоскостях".

Определение скрещивающихся прямых: Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Это означает, что не существует такой плоскости, которая одновременно содержит обе эти прямые. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны (поскольку пересекающиеся и параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости).

Интерпретация условия: Фраза "если две прямые лежат в разных плоскостях" в контексте геометрии обычно понимается как "если не существует общей плоскости, которая содержит обе эти прямые".

Рассмотрим все возможные расположения двух прямых в трехмерном пространстве:

Пересекающиеся прямые: Они имеют одну общую точку. Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести единственную плоскость. Таким образом, они лежат в одной плоскости.

Параллельные прямые: Они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости. Через две параллельные прямые всегда можно провести единственную плоскость. Таким образом, они также лежат в одной плоскости.

Скрещивающиеся прямые: Они не имеют общих точек и не параллельны. По определению, они не лежат в одной плоскости.

Таким образом, если две прямые не лежат в одной плоскости (то есть не существует общей плоскости, содержащей обе прямые), то они не могут быть ни пересекающимися, ни параллельными. Единственный оставшийся вариант их взаимного расположения — это быть скрещивающимися.

Важно отметить, что если бы фраза "две прямые лежат в разных плоскостях" означала лишь, что прямая $l_1$ лежит в некоторой плоскости $P_1$, а прямая $l_2$ лежит в некоторой плоскости $P_2$, и при этом $P_1 \ne P_2$, то утверждение было бы неверным. Например, две пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$ лежат в общей плоскости $P_{общая}$. Но прямая $l_1$ также лежит в бесконечном множестве других плоскостей (например, плоскость, проходящая через $l_1$ и точку, не лежащую в $P_{общая}$), равно как и $l_2$. Мы всегда можем выбрать такие $P_1$ и $P_2$, что $P_1 \ne P_2$, даже если $l_1$ и $l_2$ пересекаются. Однако, стандартное употребление этой фразы в геометрии имеет более строгий смысл, указывая на отсутствие общей плоскости.

Ответ: Да, это верно.

6.2. Сколько прямых, скрещивающихся с данной прямой, проходит через точку, взятую вне этой прямой?

Дано:

Дана прямая $l$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой ($A \notin l$). Предполагается трехмерное евклидово пространство.

Найти:

Количество прямых, которые проходят через точку $A$ и скрещиваются с прямой $l$.

Решение:

Для того чтобы две прямые в трехмерном пространстве скрещивались, они должны одновременно не быть параллельными и не пересекаться. Это означает, что они не лежат в одной плоскости.

Пусть дана прямая $l$ и точка $A$, не лежащая на ней ($A \notin l$).

Рассмотрим плоскость $\pi$, которая однозначно определяется прямой $l$ и точкой $A$. Такая плоскость существует и является единственной, поскольку точка $A$ не лежит на прямой $l$.

Теперь рассмотрим любую прямую $m$, проходящую через точку $A$. Возможны два случая:

1. Прямая $m$ лежит в плоскости $\pi$.

В этом случае прямые $m$ и $l$ являются компланарными (лежат в одной плоскости $\pi$). Компланарные прямые либо пересекаются, либо параллельны. Ни в том, ни в другом случае они не могут быть скрещивающимися по определению. В плоскости $\pi$ существует ровно одна прямая, проходящая через $A$ и параллельная $l$. Все остальные прямые, проходящие через $A$ в плоскости $\pi$, будут пересекать $l$. Следовательно, ни одна прямая, лежащая в плоскости $\pi$ и проходящая через $A$, не является скрещивающейся с $l$.

2. Прямая $m$ не лежит в плоскости $\pi$.

Предположим, что такая прямая $m$ пересекает прямую $l$ в некоторой точке $P$. Тогда точки $A$ и $P$ лежат на прямой $m$. Поскольку $P$ также лежит на $l$, то прямые $m$ и $l$ лежат в одной плоскости, определяемой точкой $A$ и прямой $l$, то есть в плоскости $\pi$. Это противоречит нашему предположению, что прямая $m$ не лежит в плоскости $\pi$. Следовательно, прямая $m$ не может пересекать прямую $l$.

Предположим, что такая прямая $m$ параллельна прямой $l$. Если $m \parallel l$ и $m$ проходит через $A$, то прямые $m$ и $l$ являются компланарными. Плоскость, содержащая $m$ и $l$, должна быть плоскостью $\pi$, так как $\pi$ - единственная плоскость, содержащая $A$ (на $m$) и $l$. Это также противоречит нашему предположению, что прямая $m$ не лежит в плоскости $\pi$. Следовательно, прямая $m$ не может быть параллельной прямой $l$.

Из вышеизложенного следует, что любая прямая $m$, проходящая через точку $A$ и не лежащая в плоскости $\pi$, не пересекает прямую $l$ и не параллельна ей. По определению, такие прямые $m$ являются скрещивающимися с прямой $l$.

Существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку $A$. Эти прямые заполняют все пространство, исходя из точки $A$. Прямые, лежащие в плоскости $\pi$, образуют пучок прямых в этой плоскости. Все остальные прямые, проходящие через $A$ (то есть те, которые не лежат в плоскости $\pi$), будут скрещиваться с $l$. Поскольку таких "остальных" прямых бесконечно много (каждая из них определяет свою плоскость с $l$, отличную от $\pi$), то количество прямых, скрещивающихся с данной прямой и проходящих через заданную точку, не лежащую на ней, является бесконечным.

Ответ:

Бесконечное множество.

6.3. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром $AB$ для:

а) параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 6.3, а);

б) призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 6.3, б).

Рис. 6.3

а) параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 6.3, а)

Ребра, скрещивающиеся с ребром $AB$, это те ребра, которые не лежат в одной плоскости с ребром $AB$ и не являются ему параллельными. Также они не должны пересекать ребро $AB$.

Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$ и в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$.

Ребра, пересекающие $AB$ (имеющие общие вершины $A$ или $B$): $AD$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$.

Ребра, параллельные $AB$: $CD$, $A_1B_1$, $C_1D_1$.

Таким образом, скрещивающимися с ребром $AB$ являются следующие ребра:

$B_1C_1$ (не параллельно $AB$, не пересекает $AB$)

$D_1A_1$ (не параллельно $AB$, не пересекает $AB$)

$CC_1$ (не параллельно $AB$, не пересекает $AB$)

$DD_1$ (не параллельно $AB$, не пересекает $AB$)

Ответ: $B_1C_1$, $D_1A_1$, $CC_1$, $DD_1$.

б) призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 6.3, б)

Ребра, скрещивающиеся с ребром $AB$, это те ребра, которые не лежат в одной плоскости с ребром $AB$ и не являются ему параллельными. Также они не должны пересекать ребро $AB$.

Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$ и в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$.

Ребра, пересекающие $AB$ (имеющие общие вершины $A$ или $B$): $AC$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$.

Ребра, параллельные $AB$: $A_1B_1$.

Таким образом, скрещивающимися с ребром $AB$ являются следующие ребра:

$B_1C_1$ (не параллельно $AB$, не пересекает $AB$)

$C_1A_1$ (не параллельно $AB$, не пересекает $AB$)

$CC_1$ (не параллельно $AB$, не пересекает $AB$)

Ответ: $B_1C_1$, $C_1A_1$, $CC_1$.

6.4. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром $SA$ для:

а) четырехугольной пирамиды $SABCD$ (рис. 6.4, а);

б) шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ (рис. 6.4, б).

Рис. 6.4

a) четырехугольной пирамиды $SABCD$ (рис. 6.4, а)

Решение

Ребро $SA$ является одним из ребер пирамиды. Чтобы найти ребра, скрещивающиеся с $SA$, необходимо исключить те, которые лежат с ним в одной плоскости (то есть пересекаются с ним или параллельны ему).

Ребра, пересекающие ребро $SA$, это те, которые имеют с ним общую вершину. Такими являются:

• Ребра, исходящие из вершины $S$ (кроме самого $SA$): $SB$, $SC$, $SD$.
• Ребра, исходящие из вершины $A$ (кроме самого $SA$): $AB$, $AD$.

Таким образом, ребра $SB$, $SC$, $SD$, $AB$, $AD$ пересекаются с ребром $SA$ и не являются скрещивающимися.

В обычных пирамидах боковые ребра не параллельны ребрам основания. Также, в общем случае, отсутствуют пары параллельных ребер между боковым ребром $SA$ и другими ребрами пирамиды.

Следовательно, скрещивающимися с ребром $SA$ будут те ребра основания, которые не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$. Среди ребер основания $ABCD$ ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$):

• $AB$ и $DA$ имеют общую вершину $A$ с $SA$.
• $BC$ и $CD$ не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$. Они также не параллельны $SA$.

Поэтому ребра $BC$ и $CD$ являются скрещивающимися с ребром $SA$.

Ответ: $BC$, $CD$

б) шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ (рис. 6.4, б)

Решение

По аналогии с пунктом а), для ребра $SA$ в шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ определим ребра, которые пересекаются с ним:

• Ребра, исходящие из вершины $S$ (кроме $SA$): $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, $SF$.
• Ребра, исходящие из вершины $A$ (кроме $SA$): $AB$, $AF$.

Таким образом, ребра $SB$, $SC$, $SD$, $SE$, $SF$, $AB$, $AF$ пересекаются с ребром $SA$ и не являются скрещивающимися.

Скрещивающимися с ребром $SA$ будут те ребра основания $ABCDEF$, которые не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$, и не параллельны $SA$. Среди ребер основания ($AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$):

• $AB$ и $FA$ имеют общую вершину $A$ с $SA$.
• $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ не имеют общих вершин ни с $S$, ни с $A$. Они также не параллельны $SA$.

Поэтому ребра $BC$, $CD$, $DE$, $EF$ являются скрещивающимися с ребром $SA$.

Ответ: $BC$, $CD$, $DE$, $EF$