Страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какие две прямые в пространстве называют параллельными?

2. Какие два отрезка в пространстве называют параллельными?

3. Сформулируйте свойство параллельных прямых в пространстве.

1. Какие две прямые в пространстве называют параллельными?

Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек (не пересекаются). Также, прямая считается параллельной самой себе.

Ответ:

2. Какие два отрезка в пространстве называют параллельными?

Два отрезка в пространстве называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Это означает, что если прямые, содержащие эти отрезки, параллельны, то и отрезки считаются параллельными.

Ответ:

3. Сформулируйте свойство параллельных прямых в пространстве.

Одно из ключевых свойств параллельных прямых в пространстве: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. То есть, если прямая $a$ параллельна прямой $c$, и прямая $b$ параллельна прямой $c$, то прямая $a$ параллельна прямой $b$.

Ответ:

5.1. Известно, что на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства?

Решение

Утверждение "на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую" является основным свойством параллельных прямых в евклидовой планиметрии и всегда является верным.

Рассмотрим, будет ли это утверждение верно для пространства (трехмерного). В пространстве две прямые $L_1$ и $L_2$ называются параллельными ($L_1 \parallel L_2$), если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Пусть эта плоскость будет $P$.

Пусть прямая $L_3$ пересекает прямую $L_1$ в некоторой точке $A$. Нам нужно определить, обязательно ли прямая $L_3$ будет пересекать прямую $L_2$.

Существуют два возможных случая для положения прямой $L_3$ относительно плоскости $P$:

1. Прямая $L_3$ лежит в той же плоскости $P$, что и прямые $L_1$ и $L_2$. В этом случае, так как все три прямые находятся в одной плоскости $P$, ситуация аналогична случаю на плоскости. Поскольку $L_1 \parallel L_2$ и $L_3$ пересекает $L_1$, то $L_3$ обязательно пересечет $L_2$.

2. Прямая $L_3$ не лежит целиком в плоскости $P$. То есть, прямая $L_3$ пересекает плоскость $P$ (и, соответственно, прямую $L_1$) только в одной точке $A$, но при этом сама прямая $L_3$ выходит за пределы этой плоскости.

В этом втором случае прямая $L_3$ может не пересекать прямую $L_2$. Более того, прямые $L_3$ и $L_2$ могут быть скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не параллельны и не пересекаются.

Пример: Рассмотрим куб. Пусть прямая $L_1$ — это ребро $AB$ нижней грани, а прямая $L_2$ — параллельное ей ребро $CD$ той же нижней грани. Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны и лежат в плоскости нижней грани куба. Теперь рассмотрим прямую $L_3$, которая является ребром $BF$ куба, где $F$ — вершина, расположенная над вершиной $B$. Прямая $L_3$ (ребро $BF$) пересекает прямую $L_1$ (ребро $AB$) в точке $B$. Однако прямая $L_3$ (ребро $BF$) не пересекает прямую $L_2$ (ребро $CD$), поскольку они являются скрещивающимися прямыми. $BF$ перпендикулярно плоскости нижней грани, а $CD$ лежит в этой плоскости, и они не имеют общих точек.

Таким образом, в пространстве утверждение не всегда является верным.

Ответ: Нет.

5.2. Известно, что на плоскости через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную. Будет ли это утверждение верно для пространства?

Утверждение, что на плоскости через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную, является одним из эквивалентных утверждений аксиомы параллельности Евклида (пятого постулата Евклида) и действительно верно для евклидовой плоскости.

Рассмотрим, будет ли это утверждение верно для пространства (трехмерного евклидова пространства).

Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, которая не лежит на этой прямой.

Во-первых, через точку $P$ и прямую $l$ можно провести единственную плоскость. В этой плоскости, согласно аксиоме параллельности, через точку $P$ проходит единственная прямая $m$, которая параллельна прямой $l$. Эта прямая $m$ по определению не пересекает прямую $l$.

Во-вторых, в пространстве, в отличие от плоскости, существуют не только параллельные и пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. То есть они не пересекаются.

Через заданную точку $P$ можно провести бесконечно много прямых, которые не будут пересекать прямую $l$, но при этом не будут ей параллельны. Эти прямые будут скрещивающимися с прямой $l$.

Для наглядности приведем пример. Пусть прямая $l$ совпадает с осью $Ox$ в декартовой системе координат. Таким образом, $l = \{(x,0,0) \mid x \in \mathbb{R}\}$. Пусть точка $P$ имеет координаты $(0,1,1)$.

Прямая $m$, которая параллельна прямой $l$ и проходит через точку $P$, будет иметь уравнения $y=1, z=1$. Это единственная прямая, параллельная $l$ и проходящая через $P$.

Теперь рассмотрим другие прямые, проходящие через $P$ и не пересекающие $l$. Возьмем, например, точку $A=(0,0,2)$ на оси $Oz$. Прямая, проходящая через точки $P(0,1,1)$ и $A(0,0,2)$, может быть задана параметрически как $X = P + t\vec{PA} = (0,1,1) + t(0-0, 0-1, 2-1) = (0,1,1) + t(0,-1,1) = (0, 1-t, 1+t)$. Чтобы эта прямая пересекала ось $Ox$, ее $y$-координата и $z$-координата должны быть одновременно равны нулю. То есть $1-t=0$ и $1+t=0$. Из первого уравнения следует $t=1$, а из второго $t=-1$. Поскольку $1 \neq -1$, возникает противоречие, что означает отсутствие общих точек у этой прямой с осью $Ox$. При этом направляющий вектор этой прямой $(0,-1,1)$ не коллинеарен направляющему вектору оси $Ox$ $(1,0,0)$, следовательно, прямая не параллельна оси $Ox$. Таким образом, прямая, проходящая через $P(0,1,1)$ и $A(0,0,2)$, является скрещивающейся с осью $Ox$. Подобных прямых, проходящих через $P$ и скрещивающихся с $l$, существует бесконечно много, так как мы можем выбирать различные точки $A$ (например, на оси $Oz$, отличные от $(0,0,1)$ и $(0,0,0)$).

Следовательно, утверждение о том, что через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную, неверно для пространства, поскольку, помимо единственной параллельной прямой, через такую точку можно провести бесконечно много прямых, скрещивающихся с данной прямой.

Ответ: Нет, это утверждение не будет верно для пространства.

5.3. Запишите ребра параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, параллельные ребру:

а) $AB$;

б) $AA_1$ (рис. 5.4).

а) AB

Ребрами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, параллельными ребру $AB$, являются те ребра, которые лежат в той же плоскости или в параллельной плоскости и имеют такое же направление. К ним относятся:

• $DC$ (ребро нижней грани, противоположное ребру $AB$).
• $A_1B_1$ (ребро верхней грани, соответствующее ребру $AB$).
• $D_1C_1$ (ребро верхней грани, противоположное ребру $A_1B_1$ и параллельное ребру $AB$).

Ответ: $DC, A_1B_1, D_1C_1$.

б) AA₁

Ребрами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, параллельными ребру $AA_1$, являются все остальные боковые ребра параллелепипеда, которые соединяют соответствующие вершины нижней и верхней граней. В параллелепипеде все боковые ребра параллельны друг другу. К ним относятся:

• $BB_1$.
• $CC_1$.
• $DD_1$.

Ответ: $BB_1, CC_1, DD_1$.

5.4. Будут ли параллельны ребра $AB$ и $B_1C_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.4)?

Рис. 5.4

Решение

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

По определению параллелепипеда, все его грани являются параллелограммами. Ребра, которые являются противоположными сторонами одного параллелограмма, параллельны.

Также, в параллелепипеде ребра, соединяющие соответствующие вершины параллельных граней, параллельны друг другу. В данном случае, грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются параллельными основаниями параллелепипеда.

Ребро $B_1C_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Ребро $BC$ лежит в нижней грани $ABCD$. Поскольку $BCC_1B_1$ является одной из боковых граней параллелепипеда (а значит, параллелограммом), то ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $BC$. То есть, $B_1C_1 \parallel BC$.

Теперь рассмотрим ребра $AB$ и $BC$. Оба этих ребра лежат в одной плоскости - плоскости основания $ABCD$. Они являются смежными сторонами параллелограмма $ABCD$ и имеют общую вершину $B$. По определению параллелограмма, его смежные стороны не являются параллельными (они пересекаются). Параллельны только противоположные стороны.

Таким образом, поскольку $B_1C_1 \parallel BC$, а ребра $AB$ и $BC$ не параллельны, то ребра $AB$ и $B_1C_1$ также не будут параллельны.

Ответ: Нет.

5.5. Запишите пары параллельных ребер у призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Дано: призма $ABCA_1B_1C_1$.

Найти: пары параллельных ребер у призмы $ABCA_1B_1C_1$.

Решение

5.5. Запишите пары параллельных ребер у призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.5).

Параллельными ребрами у призмы $ABCA_1B_1C_1$ являются следующие пары:

1. Боковые ребра: по определению призмы, все ее боковые ребра параллельны друг другу.
В данном случае это ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$.
Таким образом, пары параллельных боковых ребер: $(AA_1, BB_1)$, $(AA_1, CC_1)$, $(BB_1, CC_1)$.

2. Соответствующие ребра оснований: так как основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ лежат в параллельных плоскостях и являются конгруэнтными многоугольниками, их соответствующие стороны параллельны.
В данном случае это пары: $(AB, A_1B_1)$, $(BC, B_1C_1)$, $(CA, C_1A_1)$.

Ответ: Пары параллельных ребер: $(AA_1, BB_1)$, $(AA_1, CC_1)$, $(BB_1, CC_1)$, $(AB, A_1B_1)$, $(BC, B_1C_1)$, $(CA, C_1A_1)$.

5.6. Будут ли параллельны ребра $AB$ и $CC_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.5)?

Рис. 5.5

Решение

Призма $ABCA_1B_1C_1$ по определению имеет два параллельных основания ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) и боковые грани, которые являются параллелограммами. Ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ являются боковыми ребрами призмы. Все боковые ребра призмы параллельны между собой. Ребро $AB$ является ребром основания призмы.

Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$. Ребро $CC_1$ является боковым ребром, которое соединяет вершину $C$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Если бы ребра $AB$ и $CC_1$ были параллельны, то они должны были бы лежать в одной плоскости. Однако ребро $AB$ лежит в плоскости $ABC$, а ребро $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$ и уходит в другую плоскость $A_1B_1C_1$ (параллельную $ABC$). Поскольку $C_1$ не совпадает с $C$ (для невырожденной призмы), ребро $CC_1$ не лежит целиком в плоскости $ABC$. Таким образом, ребра $AB$ и $CC_1$ не являются параллельными.

Ответ: Нет.

5.7. Будут ли противолежащие ребра $AB$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$ параллельны (рис. 5.6)?

Рис. 5.6

Дано: Тетраэдр $ABCD$.

Найти: Будут ли противолежащие ребра $AB$ и $CD$ параллельны?

Решение:

Тетраэдр – это простейший многогранник, который состоит из четырех вершин, шести ребер и четырех треугольных граней. Противолежащие ребра тетраэдра – это пары ребер, которые не имеют общих вершин. В тетраэдре $ABCD$ ребра $AB$ и $CD$ являются противолежащими.

В трехмерном пространстве две прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Для того чтобы две прямые были параллельными, они должны лежать в одной плоскости и не иметь общих точек.

В общем случае, противолежащие ребра тетраэдра (такие как $AB$ и $CD$) являются скрещивающимися прямыми. Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Поскольку ребра $AB$ и $CD$ в невырожденном тетраэдре не лежат в одной общей плоскости, они не могут быть параллельными по определению параллельных прямых в пространстве. Например, ребро $AB$ лежит в плоскости $\triangle ABC$, а ребро $CD$ лежит в плоскости $\triangle ACD$. Эти плоскости различны, и прямые $AB$ и $CD$ не пересекаются.

Ответ: Нет.