Номер 5.1, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.1. Известно, что на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства?

Решение

Утверждение "на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую" является основным свойством параллельных прямых в евклидовой планиметрии и всегда является верным.

Рассмотрим, будет ли это утверждение верно для пространства (трехмерного). В пространстве две прямые $L_1$ и $L_2$ называются параллельными ($L_1 \parallel L_2$), если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Пусть эта плоскость будет $P$.

Пусть прямая $L_3$ пересекает прямую $L_1$ в некоторой точке $A$. Нам нужно определить, обязательно ли прямая $L_3$ будет пересекать прямую $L_2$.

Существуют два возможных случая для положения прямой $L_3$ относительно плоскости $P$:

1. Прямая $L_3$ лежит в той же плоскости $P$, что и прямые $L_1$ и $L_2$. В этом случае, так как все три прямые находятся в одной плоскости $P$, ситуация аналогична случаю на плоскости. Поскольку $L_1 \parallel L_2$ и $L_3$ пересекает $L_1$, то $L_3$ обязательно пересечет $L_2$.

2. Прямая $L_3$ не лежит целиком в плоскости $P$. То есть, прямая $L_3$ пересекает плоскость $P$ (и, соответственно, прямую $L_1$) только в одной точке $A$, но при этом сама прямая $L_3$ выходит за пределы этой плоскости.

В этом втором случае прямая $L_3$ может не пересекать прямую $L_2$. Более того, прямые $L_3$ и $L_2$ могут быть скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не параллельны и не пересекаются.

Пример: Рассмотрим куб. Пусть прямая $L_1$ — это ребро $AB$ нижней грани, а прямая $L_2$ — параллельное ей ребро $CD$ той же нижней грани. Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны и лежат в плоскости нижней грани куба. Теперь рассмотрим прямую $L_3$, которая является ребром $BF$ куба, где $F$ — вершина, расположенная над вершиной $B$. Прямая $L_3$ (ребро $BF$) пересекает прямую $L_1$ (ребро $AB$) в точке $B$. Однако прямая $L_3$ (ребро $BF$) не пересекает прямую $L_2$ (ребро $CD$), поскольку они являются скрещивающимися прямыми. $BF$ перпендикулярно плоскости нижней грани, а $CD$ лежит в этой плоскости, и они не имеют общих точек.

Таким образом, в пространстве утверждение не всегда является верным.

Ответ: Нет.