Номер 4.20, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.20. На клетчатой бумаге изобразите додекаэдр, аналогично представленному на рисунке 4.12. Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)?

Рис. 4.12

Задание 4.20 состоит из двух частей: изобразить додекаэдр на клетчатой бумаге и указать количество его вершин (В), ребер (Р) и граней (Г). Как искусственный интеллект, я не могу выполнить физическое изображение на клетчатой бумаге. Однако я могу предоставить информацию о свойствах додекаэдра, которая поможет вам нарисовать его, используя рисунок 4.12 как ориентир для проекции многогранника на плоскость, и дам ответы на вопросы о количестве его элементов.

Дано

Геометрическая фигура: додекаэдр (правильный многогранник).

Найти:

Количество вершин (В).
Количество ребер (Р).
Количество граней (Г).

Решение

Додекаэдр — это один из пяти правильных многогранников (платоновых тел). Он характеризуется следующими свойствами:

• Каждая грань додекаэдра является правильным пятиугольником.

• Каждая вершина является общей для трех граней и трех ребер.

• Каждое ребро является общим для двух граней и соединяет две вершины.

Исходя из этих свойств, определим количество вершин, ребер и граней:

Количество граней (Г):

По определению, додекаэдр имеет 12 граней.

Ответ: 12

Количество вершин (В):

Каждая грань (пятиугольник) имеет 5 вершин. Поскольку каждая вершина додекаэдра является общей для 3 граней, количество вершин можно найти, разделив общее число вершин, подсчитанных по граням, на 3.

$В = \frac{\text{Количество граней} \times \text{Количество вершин на грани}}{\text{Количество граней, сходящихся в одной вершине}}$

$В = \frac{12 \times 5}{3} = \frac{60}{3} = 20$

Ответ: 20

Количество ребер (Р):

Каждая грань (пятиугольник) имеет 5 ребер. Поскольку каждое ребро является общим для двух граней, количество ребер можно найти, разделив общее число ребер, подсчитанных по граням, на 2.

$Р = \frac{\text{Количество граней} \times \text{Количество ребер на грани}}{\text{Количество граней, сходящихся в одном ребре}}$

$Р = \frac{12 \times 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Ответ: 30

Для проверки правильности расчетов воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$.

$20 - 30 + 12 = 2$

$-10 + 12 = 2$

$2 = 2$

Формула Эйлера выполняется, что подтверждает корректность наших расчетов.

Ответ:

Додекаэдр имеет 20 вершин (В), 30 ребер (Р) и 12 граней (Г).