Номер 4.16, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.16. На клетчатой бумаге изображены ребра: а) четырехугольной; б) шестиугольной пирамиды (рис. 4.9). Изобразите всю пирамиду.

а)

б)

Рис. 4.9

Для решения задачи необходимо определить координаты всех вершин пирамиды (вершин основания и вершины-апекса), а затем соединить их линиями, соблюдая правила перспективы и видимости (сплошные линии для видимых ребер, пунктирные для скрытых). Координаты указываются относительно условной системы отсчета, где каждая клетка сетки соответствует единице измерения.

а) четырехугольной пирамиды

Исходя из представленных на рисунке ребер, можно определить форму основания и положение вершины пирамиды. Предположим, что основание пирамиды является параллелограммом, как это часто бывает в задачах по начертательной геометрии, и что пирамида является прямой (вершина находится строго над центром основания).

Определение вершин основания:
Видимые сплошные ребра основания на рисунке 4.9 (а):
Первое ребро: от $V_1 = (3,2)$ до $V_2 = (6,2)$ (3 единицы по горизонтали).
Второе ребро: от $V_2 = (6,2)$ до $V_3 = (7,1)$ (сдвиг на 1 единицу вправо, 1 единицу вниз).
Для образования параллелограмма $V_1V_2V_3V_4$, четвертая вершина $V_4$ может быть найдена как $V_4 = V_1 + (V_3 - V_2) = (3,2) + ((7,1) - (6,2)) = (3,2) + (1,-1) = (4,1)$.
Таким образом, вершины основания: $V_1 = (3,2)$, $V_2 = (6,2)$, $V_3 = (7,1)$, $V_4 = (4,1)$.

Определение положения вершины пирамиды (апекса):
На рисунке дано пунктирное ребро, идущее из точки $(4,3)$ в точку $(5,7)$. Это ребро является наклонным (боковым) ребром пирамиды. Следовательно, точка $(5,7)$ — это вершина (апекс) пирамиды. Обозначим ее $S = (5,7)$.
Центр основания $O_{base}$ параллелограмма $V_1V_2V_3V_4$ находится в середине диагонали $V_1V_3$: $O_{base} = (\frac{3+7}{2}, \frac{2+1}{2}) = (5, 1.5)$.
Апекс $S = (5,7)$ находится строго над центром основания $O_{base} = (5, 1.5)$ (их x-координаты совпадают), что подтверждает, что это прямая пирамида. Этот подход позволяет построить стандартную и логичную пирамиду, используя основные черты исходного изображения.
(Отметим, что пунктирная горизонтальная линия $(4,3)-(7,3)$, также данная на исходном рисунке, не используется в этой интерпретации, так как она не согласуется с построенным основанием и апексом для стандартной прямой пирамиды. Вероятно, это либо избыточная информация, либо элемент, подразумевающий более сложную конструкцию).

Изображение всей пирамиды (список ребер и их видимость):
Вершины: $V_1=(3,2)$, $V_2=(6,2)$, $V_3=(7,1)$, $V_4=(4,1)$, $S=(5,7)$.
Ребра основания:
Ребро $V_1V_2$ (от $(3,2)$ до $(6,2)$) — сплошная линия (видимое, дано на рисунке).
Ребро $V_2V_3$ (от $(6,2)$ до $(7,1)$) — сплошная линия (видимое, дано на рисунке).
Ребро $V_3V_4$ (от $(7,1)$ до $(4,1)$) — пунктирная линия (скрытое).
Ребро $V_4V_1$ (от $(4,1)$ до $(3,2)$) — пунктирная линия (скрытое).
Боковые ребра (от вершин основания к апексу $S=(5,7)$):
Ребро $V_1S$ (от $(3,2)$ до $(5,7)$) — сплошная линия (видимое).
Ребро $V_2S$ (от $(6,2)$ до $(5,7)$) — сплошная линия (видимое).
Ребро $V_3S$ (от $(7,1)$ до $(5,7)$) — сплошная линия (видимое).
Ребро $V_4S$ (от $(4,1)$ до $(5,7)$) — пунктирная линия (скрытое).

Ответ: Пирамида изображается соединением всех определенных вершин $V_1, V_2, V_3, V_4$ с апексом $S$, с учетом видимости ребер, как описано выше.

б) шестиугольной пирамиды

Аналогично, определим вершины основания и апекс.

Определение вершин основания:
Видимые сплошные ребра основания на рисунке 4.9 (б):
Первое ребро: от $V_1 = (3,2)$ до $V_2 = (4,1)$.
Второе ребро: от $V_2 = (4,1)$ до $V_3 = (5,1)$.
Третье ребро: от $V_3 = (5,1)$ до $V_4 = (6,2)$.
Это три последовательные вершины шестиугольного основания. Чтобы завершить шестиугольник, предположим, что он симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через середину сегмента $V_2V_3$. Середина $V_2V_3$ это $(\frac{4+5}{2}, \frac{1+1}{2}) = (4.5, 1)$.
Исходя из типичных пропорций шестиугольников в изометрии/перспективе, а также из рисунка, следующие вершины будут:
$V_5 = (5,3)$ (от $V_4=(6,2)$ сдвиг на 1 влево, 1 вверх).
$V_6 = (4,3)$ (от $V_5=(5,3)$ сдвиг на 1 влево).
Таким образом, вершины основания: $V_1 = (3,2)$, $V_2 = (4,1)$, $V_3 = (5,1)$, $V_4 = (6,2)$, $V_5 = (5,3)$, $V_6 = (4,3)$.

Определение положения вершины пирамиды (апекса):
На рисунке дано пунктирное ребро, идущее из точки $(4,3)$ в точку $(5,7)$. Точка $(4,3)$ совпадает с нашей $V_6$. Следовательно, $V_6S$ — это боковое ребро. Апекс пирамиды $S = (5,7)$.
Центр данного шестиугольного основания (например, середина отрезка $V_2V_5$): $O_{base} = (\frac{4+5}{2}, \frac{1+3}{2}) = (4.5, 2)$.
Апекс $S = (5,7)$ не находится строго над центром основания $O_{base} = (4.5, 2)$ (отличается по x-координате). Это означает, что данная пирамида является наклонной, что допустимо.

Изображение всей пирамиды (список ребер и их видимость):
Вершины: $V_1=(3,2)$, $V_2=(4,1)$, $V_3=(5,1)$, $V_4=(6,2)$, $V_5=(5,3)$, $V_6=(4,3)$, $S=(5,7)$.
Ребра основания:
Ребро $V_1V_2$ (от $(3,2)$ до $(4,1)$) — сплошная линия (видимое, дано на рисунке).
Ребро $V_2V_3$ (от $(4,1)$ до $(5,1)$) — сплошная линия (видимое, дано на рисунке).
Ребро $V_3V_4$ (от $(5,1)$ до $(6,2)$) — сплошная линия (видимое, дано на рисунке).
Ребро $V_4V_5$ (от $(6,2)$ до $(5,3)$) — пунктирная линия (скрытое).
Ребро $V_5V_6$ (от $(5,3)$ до $(4,3)$) — пунктирная линия (скрытое).
Ребро $V_6V_1$ (от $(4,3)$ до $(3,2)$) — пунктирная линия (скрытое).
Боковые ребра (от вершин основания к апексу $S=(5,7)$):
Ребро $V_1S$ (от $(3,2)$ до $(5,7)$) — сплошная линия (видимое).
Ребро $V_2S$ (от $(4,1)$ до $(5,7)$) — сплошная линия (видимое).
Ребро $V_3S$ (от $(5,1)$ до $(5,7)$) — сплошная линия (видимое).
Ребро $V_4S$ (от $(6,2)$ до $(5,7)$) — сплошная линия (видимое).
Ребро $V_5S$ (от $(5,3)$ до $(5,7)$) — пунктирная линия (скрытое).
Ребро $V_6S$ (от $(4,3)$ до $(5,7)$) — пунктирная линия (скрытое, дано на рисунке).

Ответ: Пирамида изображается соединением всех определенных вершин $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$ с апексом $S$, с учетом видимости ребер, как описано выше.