Номер 4.17, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.17. Сколько диагоналей имеет:

а) $n$-угольная пирамида;

б) $n$-угольная призма?

а) n-угольная пирамида

Дано: n-угольная пирамида.

Найти: Количество диагоналей.

Решение:

n-угольная пирамида имеет $n+1$ вершину (n вершин в основании и 1 вершина - апекс).

Общее количество отрезков, соединяющих любые две вершины, можно найти по формуле числа сочетаний из $n+1$ по 2:

$C_{n+1}^2 = \frac{(n+1)n}{2}$

Количество ребер n-угольной пирамиды включает $n$ ребер основания и $n$ боковых ребер (соединяющих вершины основания с апексом).

Таким образом, общее количество ребер равно $n + n = 2n$.

Диагонали многогранника – это отрезки, соединяющие любые две его вершины, не являющиеся ребрами. Количество диагоналей многогранника равно общему количеству отрезков, соединяющих вершины, за вычетом количества ребер.

Количество диагоналей пирамиды = Общее количество отрезков - Количество ребер

$D_{\text{пирамида}} = \frac{(n+1)n}{2} - 2n = \frac{n^2+n-4n}{2} = \frac{n^2-3n}{2}$

Для $n=3$ (треугольная пирамида или тетраэдр) количество диагоналей равно $\frac{3(3-3)}{2} = 0$, что является верным.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$

б) n-угольная призма

Дано: n-угольная призма.

Найти: Количество диагоналей.

Решение:

n-угольная призма имеет $2n$ вершин (n вершин в верхнем основании и n вершин в нижнем основании).

Общее количество отрезков, соединяющих любые две вершины, можно найти по формуле числа сочетаний из $2n$ по 2:

$C_{2n}^2 = \frac{2n(2n-1)}{2} = n(2n-1)$

Количество ребер n-угольной призмы включает $n$ ребер верхнего основания, $n$ ребер нижнего основания и $n$ боковых ребер (соединяющих соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований).

Таким образом, общее количество ребер равно $n + n + n = 3n$.

Количество диагоналей призмы = Общее количество отрезков - Количество ребер

$D_{\text{призма}} = n(2n-1) - 3n = 2n^2 - n - 3n = 2n^2 - 4n = 2n(n-2)$

Для $n=4$ (четырехугольная призма или параллелепипед) количество диагоналей равно $2 \times 4 \times (4-2) = 8 \times 2 = 16$. Это включает 12 диагоналей граней (по 2 на каждую из 6 граней) и 4 пространственные диагонали.

Ответ: $2n(n-2)$