Номер 4.18, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.18. На клетчатой бумаге изобразите октаэдр, аналогично представленному на рисунке 4.10. Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)?

Рис. 4.10

Задача состоит в том, чтобы проанализировать свойства октаэдра, аналогичного изображенному на рисунке 4.10, и определить количество его вершин, ребер и граней. Поскольку прямое изображение октаэдра на клетчатой бумаге невозможно в формате HTML, мы сосредоточимся на его аналитических свойствах, которые соответствуют представленному на рисунке геометрическому телу.

Дано:

Октаэдр, вид которого представлен на рисунке 4.10.

Найти:

Количество вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) октаэдра.

Решение:

Октаэдр — это один из пяти правильных многогранников (платоновых тел). Он состоит из восьми граней, двенадцати ребер и шести вершин. Его можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные основаниями.

Вершин (В)

У октаэдра две вершины расположены на главной оси (одна сверху, одна снизу), и еще четыре вершины расположены в экваториальной плоскости, образуя квадрат. Таким образом, общее количество вершин: $B = 2 + 4 = 6$.

Ответ: 6

Ребер (Р)

Ребра октаэдра можно подсчитать следующим образом: 4 ребра соединяют верхнюю вершину с вершинами экваториальной плоскости; 4 ребра соединяют вершины экваториальной плоскости между собой, образуя квадрат; и 4 ребра соединяют нижнюю вершину с вершинами экваториальной плоскости. Общее количество ребер: $P = 4 \text{ (верхние)} + 4 \text{ (срединные)} + 4 \text{ (нижние)} = 12$. Также это можно проверить по формуле Эйлера для многогранников: $B - P + \Gamma = 2$.

Ответ: 12

Граней (Г)

Каждая грань октаэдра является правильным треугольником. Поскольку октаэдр состоит из двух пирамид, соединенных основаниями, каждая из которых имеет 4 треугольные боковые грани, общее количество граней равно сумме граней обеих пирамид. Общее количество граней: $\Gamma = 4 \text{ (грани верхней пирамиды)} + 4 \text{ (грани нижней пирамиды)} = 8$. Проверим по формуле Эйлера: $6 - 12 + 8 = 2$, что является верным соотношением для всех выпуклых многогранников.

Ответ: 8