Номер 4.19, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.19. На клетчатой бумаге изобразите икосаэдр, аналогично представленному на рисунке 4.11. Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)?

Рис. 4.11

На клетчатой бумаге изобразите икосаэдр, аналогично представленному на рисунке 4.11.

Для изображения икосаэдра на клетчатой бумаге необходимо внимательно перенести точки вершин с рисунка 4.11 на свою клетчатую бумагу, а затем соединить их отрезками, соблюдая видимость и невидимость рёбер (видимые рёбра сплошными линиями, невидимые — пунктирными). Следует отметить, что икосаэдр является правильным многогранником, все 20 граней которого представляют собой равносторонние треугольники. Представленное на рисунке изображение является двухмерной проекцией этого трёхмерного объекта.

Ответ: Изображение икосаэдра приведено на рисунке 4.11.

Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)?

Дано:

Икосаэдр — это один из пяти правильных многогранников (платоновых тел). Он имеет 20 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. В каждой вершине икосаэдра сходится одинаковое количество рёбер и граней.

Найти:

Количество вершин ($B$), количество рёбер ($P$), количество граней ($\Gamma$).

Решение:

1.Количество граней ($\Gamma$):

По определению, икосаэдр является многогранником с двадцатью гранями. Каждая грань икосаэдра — это равносторонний треугольник.

Таким образом, количество граней $\Gamma = 20$.

2.Количество рёбер ($P$):

Поскольку каждая из 20 граней икосаэдра является треугольником, у каждой грани 3 ребра. Если мы умножим количество граней на количество рёбер одной грани ($20 \times 3$), то получим 60. Однако каждое ребро является общим для двух граней (так как две грани сходятся вдоль каждого ребра). Поэтому, чтобы найти истинное количество рёбер, мы должны разделить это число пополам:

$P = \frac{\text{количество граней} \times \text{количество рёбер на одной грани}}{2}$

$P = \frac{20 \times 3}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Таким образом, количество рёбер $P = 30$.

3.Количество вершин ($B$):

Для определения количества вершин можно использовать формулу Эйлера для многогранников, которая устанавливает связь между количеством вершин ($B$), рёбер ($P$) и граней ($\Gamma$):

$B - P + \Gamma = 2$

Подставим уже найденные значения $P = 30$ и $\Gamma = 20$ в формулу Эйлера:

$B - 30 + 20 = 2$

$B - 10 = 2$

$B = 2 + 10$

$B = 12$

Таким образом, количество вершин $B = 12$.

Альтернативный способ определения количества вершин: в икосаэдре в каждой вершине сходится 5 граней и, соответственно, 5 рёбер. Всего рёбер 30. Каждое ребро соединяет 2 вершины. Если умножить $30 \times 2 = 60$, то каждая вершина будет посчитана 5 раз (по количеству рёбер, сходящихся в ней). Делим на 5:

$B = \frac{\text{количество рёбер} \times 2}{\text{количество рёбер, сходящихся в одной вершине}}$

$B = \frac{30 \times 2}{5} = \frac{60}{5} = 12$

Оба метода дают один и тот же результат.

Ответ: количество вершин ($B$) = 12, количество рёбер ($P$) = 30, количество граней ($\Gamma$) = 20.