Номер 4.15, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.15. На клетчатой бумаге изображены ребра: а) треугольной; б) шестиугольной призмы (рис. 4.8). Изобразите всю призму.

а)

б)

Рис. 4.8

Для изображения всей призмы необходимо достроить недостающие ребра, учитывая их видимость (сплошные линии для видимых ребер, пунктирные для скрытых). Призмы имеют два основания (в данном случае треугольник и шестиугольник) и боковые грани (параллелограммы), а также боковые ребра, которые параллельны и равны по длине.

а) Треугольная призма

Решение: Исходное изображение показывает три ребра: два ребра нижнего основания (одно видимое горизонтальное длиной 3 клетки и одно скрытое диагональное, идущее из той же вершины) и одно видимое боковое ребро (вертикальное длиной 4 клетки, выходящее из конца видимого горизонтального ребра основания).

Пусть нижняя левая вершина, из которой выходят оба ребра основания, обозначена как A. Горизонтальное видимое ребро основания идет от A на 3 клетки вправо до вершины B. Диагональное скрытое ребро основания идет от A на 2 клетки вправо и 3 клетки вверх (по сетке) до вершины C. Вертикальное видимое боковое ребро идет от B на 4 клетки вверх до вершины B'.

Для достройки призмы, во-первых, достройте недостающее ребро нижнего основания, соединив вершины B и C. Поскольку ребро AC скрыто, ребро BC будет видимо (изобразите его сплошной линией). Во-вторых, из вершин A и C проведите боковые ребра, параллельные BB' и равные ему по длине (4 клетки вверх). Ребро AA' (от (0,0) до (0,4) на сетке, если A=(0,0)) будет скрытым (пунктирным), так как оно находится позади. Ребро CC' (от (2,3) до (2,7) на сетке) будет видимым (сплошным). В-третьих, соедините вершины верхнего основания A'B', B'C', C'A'. Ребра A'B' (от (0,4) до (3,4)) и B'C' (от (3,4) до (2,7)) будут видимыми (сплошными), а ребро C'A' (от (2,7) до (0,4)) будет скрытым (пунктирным), так как оно соответствует скрытому ребру нижнего основания AC.

Ответ: На клетчатой бумаге следует достроить призму, используя описанные выше видимые (сплошные) и скрытые (пунктирные) ребра, чтобы сформировать полную треугольную призму с двумя треугольными основаниями и тремя прямоугольными боковыми гранями.

б) Шестиугольная призма

Решение: Исходное изображение показывает три последовательных видимых ребра нижнего основания, образующих часть шестиугольника, и одно скрытое вертикальное боковое ребро. Пусть вершины этих ребер на сетке (относительно произвольного начала, например, V1=(0,1)) будут V1=(0,1), V2=(2,1), V3=(4,0), V4=(6,1). Скрытое боковое ребро идет от V3=(4,0) на 4 клетки вверх до V3'=(4,4).

Предполагается, что шестиугольное основание является правильным шестиугольником, спроецированным таким образом, что противоположные стороны параллельны. Исходя из заданных ребер V1V2 (вектор (2,0)), V2V3 (вектор (2,-1)), V3V4 (вектор (2,1)), можно найти оставшиеся три вершины основания. V5: из V4 проведем вектор, параллельный V1V2, но в противоположном направлении (-2,0), тогда V5=(4,1). V6: из V5 проведем вектор, параллельный V2V3, но в противоположном направлении (-2,1), тогда V6=(2,2). Проверка: из V6 проведем вектор, параллельный V3V4, но в противоположном направлении (-2,-1), тогда (2-2, 2-1) = (0,1), что совпадает с V1. Таким образом, вершины нижнего основания: V1(0,1), V2(2,1), V3(4,0), V4(6,1), V5(4,1), V6(2,2).

Для достройки призмы, во-первых, достройте недостающие ребра нижнего основания: соедините V4 с V5, V5 с V6, и V6 с V1. Эти ребра (V4V5, V5V6, V6V1) будут скрытыми (пунктирными). Во-вторых, из всех вершин нижнего основания проведите боковые ребра, параллельные V3V3' и равные ему по длине (4 клетки вверх). Ребра V1V1' (от (0,1) до (0,5)), V2V2' (от (2,1) до (2,5)) и V4V4' (от (6,1) до (6,5)) будут видимыми (сплошными). Ребра V5V5' (от (4,1) до (4,5)) и V6V6' (от (2,2) до (2,6)) будут скрытыми (пунктирными). В-третьих, соедините вершины верхнего основания: V1'V2', V2'V3', V3'V4', V4'V5', V5'V6', V6'V1'. Ребра V1'V2' (от (0,5) до (2,5)), V2'V3' (от (2,5) до (4,4)) и V3'V4' (от (4,4) до (6,5)) будут видимыми (сплошными). Ребра V4'V5' (от (6,5) до (4,5)), V5'V6' (от (4,5) до (2,6)) и V6'V1' (от (2,6) до (0,5)) будут скрытыми (пунктирными), так как они соответствуют скрытым ребрам нижнего основания.

Ответ: На клетчатой бумаге следует достроить призму, используя описанные выше видимые (сплошные) и скрытые (пунктирные) ребра, чтобы сформировать полную шестиугольную призму с двумя шестиугольными основаниями и шестью прямоугольными боковыми гранями.