Страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.12. На рисунке 4.6 найдите фигуры, которые являются развертками пирамид. Выясните их вид.

а)

Решение: Данная фигура состоит из квадратного основания, к сторонам которого примыкают четыре треугольника. При складывании этой развертки четыре треугольные грани сойдутся в одной точке (вершине), образуя боковую поверхность, а квадрат станет основанием. Это соответствует определению развертки пирамиды. Так как основание квадратное, это развертка четырехугольной пирамиды.

Ответ: Развертка пирамиды (четырехугольной, или квадратной, пирамиды).

б)

Решение: Эта фигура состоит из двух треугольников и трех прямоугольников. При складывании два треугольника образуют основания, а три прямоугольника образуют боковые грани. Это характерно для развертки призмы, а не пирамиды. У пирамиды должно быть одно основание и все боковые грани должны быть треугольниками, сходящимися в одной вершине.

Ответ: Не является разверткой пирамиды (является разверткой треугольной призмы).

в)

Решение: Данная фигура состоит из треугольного основания, к сторонам которого примыкают три других треугольника. При складывании этой развертки три боковые треугольные грани сойдутся в одной точке (вершине), образуя боковую поверхность, а центральный треугольник станет основанием. Это соответствует определению развертки пирамиды. Так как основание треугольное, это развертка треугольной пирамиды.

Ответ: Развертка пирамиды (треугольной пирамиды, или тетраэдра).

г)

Решение: Эта фигура имеет сложную структуру. Хотя у нее есть несколько треугольных элементов, некоторые из примыкающих к центральной фигуре частей являются четырехугольниками, а не треугольниками, как того требуют боковые грани пирамиды. Кроме того, расположение элементов не позволяет им всем сойтись в одной вершине, образуя при этом одну единую базу. Таким образом, эта фигура не является разверткой пирамиды.

Ответ: Не является разверткой пирамиды.

4.13. Разверткой какого многогранника может служить фигура, изображенная на рисунке 4.7?

Рис. 4.7

Решение

Фигура, изображенная на рисунке 4.7, представляет собой пятиконечную звезду (пентаграмму). Если рассматривать центральный правильный пятиугольник, который образуется в результате пересечения линий звезды, как основание, а пять внешних треугольных "лучей" звезды как боковые грани, то эту фигуру можно сложить в трехмерное тело. При складывании вдоль сторон центрального пятиугольника, все пять вершин треугольных "лучей" сойдутся в одной точке, формируя вершину пирамиды. Таким образом, данная фигура является разверткой пятиугольной пирамиды.

Ответ: пятиугольная пирамида.

4.14. Нарисуйте развертку правильной шестиугольной: а) призмы; б) пирамиды. Изготовьте развертки и склейте из них модели правильной шестиугольной: а) призмы; б) пирамиды.

a) призмы

Дано: правильная шестиугольная призма.

Найти: развертка и модель правильной шестиугольной призмы.

Решение

Развертка правильной шестиугольной призмы состоит из восьми граней: двух одинаковых правильных шестиугольников, которые являются основаниями призмы, и шести равных прямоугольников, образующих ее боковую поверхность. Каждая сторона шестиугольника должна быть равна ширине прямоугольника. Высота призмы соответствует высоте прямоугольников.

Для построения развертки необходимо начертить один правильный шестиугольник. Затем к каждой из шести его сторон присоединить по прямоугольнику. Эти шесть прямоугольников образуют центральный пояс развертки. Ко второй стороне одного из крайних прямоугольников присоединяется второй правильный шестиугольник, который будет служить верхним основанием призмы. Для облегчения склеивания к некоторым сторонам развертки (например, к одной из боковых сторон каждого прямоугольника и к периметру одного из шестиугольников) добавляются небольшие клапаны или "ушки", которые служат для нанесения клея.

Процесс изготовления модели включает следующие шаги:

1. Начертите развертку на плотном листе бумаги или картоне, соблюдая точность размеров и углов.
2. Аккуратно вырежьте развертку по внешнему контуру, включая клапаны.
3. Тщательно согните бумагу по всем линиям, соответствующим ребрам призмы, включая линии, отделяющие клапаны.
4. Нанесите клей на клапаны и последовательно склейте все грани, чтобы сформировать объемную модель правильной шестиугольной призмы.

Ответ: Развертка и модель правильной шестиугольной призмы успешно получены.

б) пирамиды

Дано: правильная шестиугольная пирамида.

Найти: развертка и модель правильной шестиугольной пирамиды.

Решение

Развертка правильной шестиугольной пирамиды состоит из семи граней: одного правильного шестиугольника, который является основанием пирамиды, и шести одинаковых равнобедренных треугольников, формирующих ее боковую поверхность. Каждая сторона шестиугольника является основанием одного из этих равнобедренных треугольников. Две равные стороны каждого треугольника соответствуют апофемам боковых граней пирамиды.

Для построения развертки необходимо начертить один правильный шестиугольник. Затем к каждой из шести его сторон присоединить по равнобедренному треугольнику. Все вершины этих шести треугольников (противоположные основаниям) должны сходиться в одной точке, которая станет вершиной пирамиды после складывания. Для удобства склеивания к одной из боковых сторон каждого треугольника добавляются небольшие клапаны (ушки), предназначенные для нанесения клея.

Процесс изготовления модели включает следующие шаги:

1. Начертите развертку на плотном листе бумаги или картоне, стараясь быть максимально точным в размерах и углах.
2. Аккуратно вырежьте начерченную развертку по внешнему контуру, включая клапаны.
3. Тщательно согните бумагу по всем линиям, соответствующим ребрам пирамиды, а также по линиям клапанов.
4. Нанесите клей на клапаны и последовательно склейте все грани. Важно тщательно совместить вершины треугольников, чтобы сформировать правильную объемную модель шестиугольной пирамиды.

Ответ: Развертка и модель правильной шестиугольной пирамиды успешно получены.

4.15. На клетчатой бумаге изображены ребра: а) треугольной; б) шестиугольной призмы (рис. 4.8). Изобразите всю призму.

а)

б)

Рис. 4.8

Для изображения всей призмы необходимо достроить недостающие ребра, учитывая их видимость (сплошные линии для видимых ребер, пунктирные для скрытых). Призмы имеют два основания (в данном случае треугольник и шестиугольник) и боковые грани (параллелограммы), а также боковые ребра, которые параллельны и равны по длине.

а) Треугольная призма

Решение: Исходное изображение показывает три ребра: два ребра нижнего основания (одно видимое горизонтальное длиной 3 клетки и одно скрытое диагональное, идущее из той же вершины) и одно видимое боковое ребро (вертикальное длиной 4 клетки, выходящее из конца видимого горизонтального ребра основания).

Пусть нижняя левая вершина, из которой выходят оба ребра основания, обозначена как A. Горизонтальное видимое ребро основания идет от A на 3 клетки вправо до вершины B. Диагональное скрытое ребро основания идет от A на 2 клетки вправо и 3 клетки вверх (по сетке) до вершины C. Вертикальное видимое боковое ребро идет от B на 4 клетки вверх до вершины B'.

Для достройки призмы, во-первых, достройте недостающее ребро нижнего основания, соединив вершины B и C. Поскольку ребро AC скрыто, ребро BC будет видимо (изобразите его сплошной линией). Во-вторых, из вершин A и C проведите боковые ребра, параллельные BB' и равные ему по длине (4 клетки вверх). Ребро AA' (от (0,0) до (0,4) на сетке, если A=(0,0)) будет скрытым (пунктирным), так как оно находится позади. Ребро CC' (от (2,3) до (2,7) на сетке) будет видимым (сплошным). В-третьих, соедините вершины верхнего основания A'B', B'C', C'A'. Ребра A'B' (от (0,4) до (3,4)) и B'C' (от (3,4) до (2,7)) будут видимыми (сплошными), а ребро C'A' (от (2,7) до (0,4)) будет скрытым (пунктирным), так как оно соответствует скрытому ребру нижнего основания AC.

Ответ: На клетчатой бумаге следует достроить призму, используя описанные выше видимые (сплошные) и скрытые (пунктирные) ребра, чтобы сформировать полную треугольную призму с двумя треугольными основаниями и тремя прямоугольными боковыми гранями.

б) Шестиугольная призма

Решение: Исходное изображение показывает три последовательных видимых ребра нижнего основания, образующих часть шестиугольника, и одно скрытое вертикальное боковое ребро. Пусть вершины этих ребер на сетке (относительно произвольного начала, например, V1=(0,1)) будут V1=(0,1), V2=(2,1), V3=(4,0), V4=(6,1). Скрытое боковое ребро идет от V3=(4,0) на 4 клетки вверх до V3'=(4,4).

Предполагается, что шестиугольное основание является правильным шестиугольником, спроецированным таким образом, что противоположные стороны параллельны. Исходя из заданных ребер V1V2 (вектор (2,0)), V2V3 (вектор (2,-1)), V3V4 (вектор (2,1)), можно найти оставшиеся три вершины основания. V5: из V4 проведем вектор, параллельный V1V2, но в противоположном направлении (-2,0), тогда V5=(4,1). V6: из V5 проведем вектор, параллельный V2V3, но в противоположном направлении (-2,1), тогда V6=(2,2). Проверка: из V6 проведем вектор, параллельный V3V4, но в противоположном направлении (-2,-1), тогда (2-2, 2-1) = (0,1), что совпадает с V1. Таким образом, вершины нижнего основания: V1(0,1), V2(2,1), V3(4,0), V4(6,1), V5(4,1), V6(2,2).

Для достройки призмы, во-первых, достройте недостающие ребра нижнего основания: соедините V4 с V5, V5 с V6, и V6 с V1. Эти ребра (V4V5, V5V6, V6V1) будут скрытыми (пунктирными). Во-вторых, из всех вершин нижнего основания проведите боковые ребра, параллельные V3V3' и равные ему по длине (4 клетки вверх). Ребра V1V1' (от (0,1) до (0,5)), V2V2' (от (2,1) до (2,5)) и V4V4' (от (6,1) до (6,5)) будут видимыми (сплошными). Ребра V5V5' (от (4,1) до (4,5)) и V6V6' (от (2,2) до (2,6)) будут скрытыми (пунктирными). В-третьих, соедините вершины верхнего основания: V1'V2', V2'V3', V3'V4', V4'V5', V5'V6', V6'V1'. Ребра V1'V2' (от (0,5) до (2,5)), V2'V3' (от (2,5) до (4,4)) и V3'V4' (от (4,4) до (6,5)) будут видимыми (сплошными). Ребра V4'V5' (от (6,5) до (4,5)), V5'V6' (от (4,5) до (2,6)) и V6'V1' (от (2,6) до (0,5)) будут скрытыми (пунктирными), так как они соответствуют скрытым ребрам нижнего основания.

Ответ: На клетчатой бумаге следует достроить призму, используя описанные выше видимые (сплошные) и скрытые (пунктирные) ребра, чтобы сформировать полную шестиугольную призму с двумя шестиугольными основаниями и шестью прямоугольными боковыми гранями.