Страница 36 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.3. На клетчатой бумаге изобразите пирамиды, аналогичные данным на рисунке 4.4.

а)                    б)

Рис. 4.4

a)

Для изображения пирамиды на клетчатой бумаге, аналогичной рисунку 4.4 а), выполните следующие шаги:

Выберите начальную точку на сетке для левого нижнего угла основания. Обозначим её как (0,0). Основание является параллелограммом (проекцией прямоугольника) с вершинами относительно (0,0): передний левый угол (0,0), передний правый угол (6,0), задний правый угол (10,2), задний левый угол (4,2).

Линии основания: соедините (0,0) и (6,0) сплошной линией; соедините (6,0) и (10,2) сплошной линией; соедините (10,2) и (4,2) сплошной линией; соедините (4,2) и (0,0) пунктирной линией.

Вершина пирамиды: найдите центр основания, который находится в точке (5,1) относительно (0,0). Поднимитесь от центра основания на 6 клеток строго вверх, чтобы найти вершину пирамиды. Таким образом, вершина будет в точке (5, 1+6) = (5,7).

Боковые рёбра пирамиды: соедините вершину (5,7) со всеми четырьмя углами основания. Рёбра (5,7) и (0,0), (5,7) и (6,0), (5,7) и (10,2) нарисуйте сплошными линиями. Ребро (5,7) и (4,2) нарисуйте пунктирной линией.

Ответ:

б)

Для изображения пирамиды на клетчатой бумаге, аналогичной рисунку 4.4 б), выполните следующие шаги:

Выберите начальную точку на сетке для самой нижней вершины основания. Обозначим её как (0,0). Основание является проекцией правильного шестиугольника с вершинами относительно (0,0), перечисленными по часовой стрелке: нижняя вершина (0,0), правая нижняя вершина (2,1), правая верхняя вершина (2,3), верхняя вершина (0,4), левая верхняя вершина (-2,3), левая нижняя вершина (-2,1).

Линии основания: соедините (0,0) и (2,1) сплошной линией; соедините (2,1) и (2,3) сплошной линией; соедините (0,0) и (-2,1) сплошной линией; соедините (-2,1) и (-2,3) сплошной линией; соедините (2,3) и (0,4) пунктирной линией; соедините (-2,3) и (0,4) пунктирной линией.

Вершина пирамиды: найдите центр основания, который находится в точке (0,2) относительно (0,0). Поднимитесь от центра основания на 6 клеток строго вверх, чтобы найти вершину пирамиды. Таким образом, вершина будет в точке (0, 2+6) = (0,8).

Боковые рёбра пирамиды: соедините вершину (0,8) со всеми шестью углами основания. Рёбра (0,8) и (0,0), (0,8) и (2,1), (0,8) и (2,3), (0,8) и (-2,3), (0,8) и (-2,1) нарисуйте сплошными линиями. Ребро (0,8) и (0,4) нарисуйте пунктирной линией.

Ответ:

4.4. Может ли призма иметь:

а) 9 вершин;

б) 16 вершин?

а) 9 вершин

Количество вершин (V) у призмы связано с количеством вершин в основании (n) формулой $V = 2n$. Так как основание призмы является многоугольником, количество вершин в основании n должно быть целым числом и $n \ge 3$ (например, треугольник, квадрат, пятиугольник и так далее).

Предположим, что призма имеет 9 вершин. Тогда мы можем записать уравнение:

$2n = 9$

Для того чтобы найти количество вершин в основании (n), решим это уравнение:

$n = \frac{9}{2}$

$n = 4.5$

Поскольку n должно быть целым числом (количество вершин многоугольника не может быть дробным), значение $n = 4.5$ невозможно для основания призмы. Следовательно, призма не может иметь 9 вершин.

Ответ: Нет

б) 16 вершин

Как и в предыдущем случае, количество вершин (V) у призмы определяется формулой $V = 2n$, где n - это количество вершин в основании призмы. n должно быть целым числом и $n \ge 3$.

Предположим, что призма имеет 16 вершин. Тогда уравнение примет вид:

$2n = 16$

Решаем уравнение относительно n:

$n = \frac{16}{2}$

$n = 8$

Поскольку $n = 8$ является целым числом и $8 \ge 3$, это возможно. Призма с восьмиугольным основанием (октагональная призма) будет иметь 8 вершин в верхнем основании и 8 вершин в нижнем основании, что в сумме дает 16 вершин.

Ответ: Да

4.5. Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет:

а) 20 вершин;

б) 15 ребер?

Дано

Призма имеет 20 вершин.

Найти:

Какой многоугольник лежит в основании призмы.

Решение

а) 20 вершин

Обозначим количество сторон многоугольника, лежащего в основании призмы, как $n$.
Для любой призмы количество вершин $V$ связано с количеством сторон основания $n$ следующей формулой:
$V = 2n$
По условию задачи, призма имеет 20 вершин, то есть $V = 20$.
Подставим это значение в формулу:
$20 = 2n$
Чтобы найти значение $n$, разделим обе части уравнения на 2:
$n = \frac{20}{2}$
$n = 10$
Многоугольник, имеющий 10 сторон, называется десятиугольником.

Ответ: Десятиугольник.

Дано

Призма имеет 15 ребер.

Найти:

Какой многоугольник лежит в основании призмы.

Решение

б) 15 ребер

Обозначим количество сторон многоугольника, лежащего в основании призмы, как $n$.
Для любой призмы количество ребер $E$ связано с количеством сторон основания $n$ следующей формулой:
$E = 3n$
По условию задачи, призма имеет 15 ребер, то есть $E = 15$.
Подставим это значение в формулу:
$15 = 3n$
Чтобы найти значение $n$, разделим обе части уравнения на 3:
$n = \frac{15}{3}$
$n = 5$
Многоугольник, имеющий 5 сторон, называется пятиугольником.

Ответ: Пятиугольник.

4.6. Определите вид призмы, которая имеет:

а) 10 вершин;

б) 18 ребер;

в) 8 граней.

а) 10 вершин

Дано

Количество вершин призмы $V = 10$.

Найти

Вид призмы.

Решение

Для любой призмы количество вершин $V$ связано с количеством сторон основания $n$ формулой: $V = 2n$.

Подставим известное количество вершин в формулу:

$2n = 10$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 2:

$n = \frac{10}{2}$

$n = 5$

Так как основание призмы является пятиугольником (имеет 5 сторон), то эта призма называется пятиугольной призмой.

Ответ: Пятиугольная призма.

б) 18 ребер

Дано

Количество ребер призмы $E = 18$.

Найти

Вид призмы.

Решение

Для любой призмы количество ребер $E$ связано с количеством сторон основания $n$ формулой: $E = 3n$.

Подставим известное количество ребер в формулу:

$3n = 18$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 3:

$n = \frac{18}{3}$

$n = 6$

Так как основание призмы является шестиугольником (имеет 6 сторон), то эта призма называется шестиугольной призмой.

Ответ: Шестиугольная призма.

в) 8 граней

Дано

Количество граней призмы $F = 8$.

Найти

Вид призмы.

Решение

Для любой призмы количество граней $F$ связано с количеством сторон основания $n$ формулой: $F = n + 2$.

Подставим известное количество граней в формулу:

$n + 2 = 8$

Чтобы найти $n$, вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$n = 8 - 2$

$n = 6$

Так как основание призмы является шестиугольником (имеет 6 сторон), то эта призма называется шестиугольной призмой.

Ответ: Шестиугольная призма.

4.7. Может ли пирамида иметь:

а) 9 ребер;

б) 16 ребер?

4.8. Какой многоугольник лежит в основании пирамид

Дано:

Пирамида.

Количество ребер пирамиды $E$ связано с количеством вершин $n$ многоугольника в ее основании формулой $E = 2n$.

Поскольку основание пирамиды является многоугольником, количество вершин в основании $n$ должно быть целым числом и $n \geq 3$.

Найти:

Может ли пирамида иметь:

а) 9 ребер;

б) 16 ребер.

Решение:

Пусть $n$ - количество вершин многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Поскольку основание - это многоугольник, $n$ должно быть целым числом и $n \geq 3$ (например, треугольник, четырехугольник и т.д.).

Количество ребер пирамиды состоит из ребер основания и боковых ребер. Если в основании $n$ вершин, то в основании $n$ ребер. Каждая вершина основания соединяется с вершиной пирамиды (апексом), образуя $n$ боковых ребер.

Таким образом, общее количество ребер $E$ в пирамиде равно $n + n = 2n$.

а) 9 ребер

Предположим, что пирамида имеет 9 ребер. Используем формулу $E = 2n$:

$2n = 9$

$n = \frac{9}{2}$

$n = 4.5$

Поскольку $n$ должно быть целым числом (количество вершин многоугольника), значение $n = 4.5$ невозможно. Следовательно, пирамида не может иметь 9 ребер.

Ответ: Нет

б) 16 ребер

Предположим, что пирамида имеет 16 ребер. Используем формулу $E = 2n$:

$2n = 16$

$n = \frac{16}{2}$

$n = 8$

Значение $n = 8$ является целым числом и удовлетворяет условию $n \geq 3$. Это означает, что основанием такой пирамиды может быть восьмиугольник (октагон). Пирамида с восьмиугольным основанием будет иметь $2 \times 8 = 16$ ребер.

Ответ: Да

4.8. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, которая имеет:

а) 32 ребра;

б) 15 граней?

а) 32 ребра

Дано: количество ребер пирамиды $E = 32$.

Найти: тип многоугольника в основании (количество сторон $n$).

Решение

Для пирамиды, в основании которой лежит $n$-угольник, общее количество ребер $E$ определяется формулой $E = 2n$. Это связано с тем, что пирамида имеет $n$ ребер в основании и $n$ боковых ребер, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды.

Подставим известное количество ребер в формулу:

$2n = 32$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на 2:

$n = \frac{32}{2}$

$n = 16$

Многоугольник с 16 сторонами называется шестнадцатиугольником.

Ответ: Шестнадцатиугольник

б) 15 граней

Дано: количество граней пирамиды $F = 15$.

Найти: тип многоугольника в основании (количество сторон $n$).

Решение

Для пирамиды, в основании которой лежит $n$-угольник, общее количество граней $F$ определяется формулой $F = n + 1$. Это связано с тем, что пирамида имеет одну грань-основание и $n$ боковых граней, которые являются треугольниками.

Подставим известное количество граней в формулу:

$n + 1 = 15$

Чтобы найти $n$, вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$n = 15 - 1$

$n = 14$

Многоугольник с 14 сторонами называется четырнадцатиугольником.

Ответ: Четырнадцатиугольник

4.9. Определите вид пирамиды, которая имеет:

а) 10 вершин;

б) 18 ребер;

в) 8 граней.

Дано

a) Количество вершин пирамиды $V = 10$

b) Количество ребер пирамиды $E = 18$

c) Количество граней пирамиды $F = 8$

Найти:

Вид пирамиды для каждого случая.

Решение

Общие формулы для пирамиды с $n$-угольным основанием:

Количество вершин $V = n + 1$

Количество ребер $E = 2n$

Количество граней $F = n + 1$

a) 10 вершин;

Используем формулу для количества вершин: $V = n + 1$.

Подставляем известное значение: $10 = n + 1$.

Вычисляем $n$: $n = 10 - 1 = 9$.

Это означает, что основанием пирамиды является девятиугольник.

Ответ: Девятиугольная пирамида.

б) 18 ребер;

Используем формулу для количества ребер: $E = 2n$.

Подставляем известное значение: $18 = 2n$.

Вычисляем $n$: $n = \frac{18}{2} = 9$.

Это означает, что основанием пирамиды является девятиугольник.

Ответ: Девятиугольная пирамида.

в) 8 граней.

Используем формулу для количества граней: $F = n + 1$.

Подставляем известное значение: $8 = n + 1$.

Вычисляем $n$: $n = 8 - 1 = 7$.

Это означает, что основанием пирамиды является семиугольник.

Ответ: Семиугольная пирамида.

4.10. В четырехугольной пирамиде $SABCD$ укажите пары пересекающихся плоскостей, которые содержат грани этой пирамиды (рис. 4.2, б).

В четырехугольной пирамиде $SABCD$ имеются пять граней: основание $ABCD$ и четыре боковые грани $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$. Каждая грань лежит в определенной плоскости. В пирамиде любые две плоскости, содержащие ее грани, пересекаются, так как нет параллельных граней (кроме вырожденных случаев, которые здесь не подразумеваются). Линия пересечения двух плоскостей - это прямая. Если грани смежные, эта прямая является общим ребром пирамиды. Если грани не смежные, их плоскости также пересекаются.

Перечислим все пары пересекающихся плоскостей, содержащих грани пирамиды:

1. Плоскость основания $ABCD$ и плоскости боковых граней:

Плоскость $(ABCD)$ и плоскость $(SAB)$ пересекаются по прямой $AB$.

Плоскость $(ABCD)$ и плоскость $(SBC)$ пересекаются по прямой $BC$.

Плоскость $(ABCD)$ и плоскость $(SCD)$ пересекаются по прямой $CD$.

Плоскость $(ABCD)$ и плоскость $(SDA)$ пересекаются по прямой $DA$.

2. Плоскости смежных боковых граней (имеют общее боковое ребро):

Плоскость $(SAB)$ и плоскость $(SBC)$ пересекаются по прямой $SB$.

Плоскость $(SBC)$ и плоскость $(SCD)$ пересекаются по прямой $SC$.

Плоскость $(SCD)$ и плоскость $(SDA)$ пересекаются по прямой $SD$.

Плоскость $(SDA)$ и плоскость $(SAB)$ пересекаются по прямой $SA$.

3. Плоскости противолежащих боковых граней (не имеют общего ребра, кроме вершины $S$):

Плоскость $(SAB)$ и плоскость $(SCD)$ пересекаются по прямой, проходящей через вершину $S$.

Плоскость $(SBC)$ и плоскость $(SDA)$ пересекаются по прямой, проходящей через вершину $S$.

Ответ:
Пары пересекающихся плоскостей, содержащих грани пирамиды $SABCD$:
$(ABCD)$ и $(SAB)$ (линия пересечения $AB$)
$(ABCD)$ и $(SBC)$ (линия пересечения $BC$)
$(ABCD)$ и $(SCD)$ (линия пересечения $CD$)
$(ABCD)$ и $(SDA)$ (линия пересечения $DA$)
$(SAB)$ и $(SBC)$ (линия пересечения $SB$)
$(SBC)$ и $(SCD)$ (линия пересечения $SC$)
$(SCD)$ и $(SDA)$ (линия пересечения $SD$)
$(SDA)$ и $(SAB)$ (линия пересечения $SA$)
$(SAB)$ и $(SCD)$ (линия пересечения проходит через $S$)
$(SBC)$ и $(SDA)$ (линия пересечения проходит через $S$)

4.11. На рисунке 4.5 найдите фигуры, которые являются развертками призм. Определите вид этих призм.

Рис. 4.5

а)

Данная фигура является разверткой призмы. Она состоит из четырех прямоугольных боковых граней, расположенных в ряд, и двух одинаковых квадратных (или прямоугольных) оснований, присоединенных к одной из боковых граней. При сгибании этой развертки четыре прямоугольника образуют боковую поверхность, а два квадрата/прямоугольника закрывают верхнее и нижнее отверстия, формируя основания.

Ответ: Прямоугольная призма (или четырехугольная призма).

б)

Данная фигура является разверткой призмы. Она состоит из трех прямоугольных боковых граней, расположенных в ряд, и двух одинаковых треугольных оснований, присоединенных к средней боковой грани. При сгибании этой развертки три прямоугольника образуют боковую поверхность, а два треугольника закрывают верхнее и нижнее отверстия, формируя основания.

Ответ: Треугольная призма.

в)

Данная фигура не является разверткой призмы. Хотя у нее есть две треугольные грани, которые могли бы быть основаниями, их расположение относительно боковых граней не позволяет сформировать замкнутую призму. Треугольники расположены по разные стороны от центральной полосы прямоугольников, и при складывании они не сойдутся как основания одной призмы.

Ответ: Не является разверткой призмы.

г)

Данная фигура не является разверткой призмы. Подобно фигуре (в), хотя у нее есть две треугольные грани, которые могли бы быть основаниями, их расположение относительно боковых граней не позволяет сформировать замкнутую призму. Треугольники присоединены к разным концам полосы прямоугольников, что не позволяет им стать верхним и нижним основаниями одной и той же призмы.

Ответ: Не является разверткой призмы.