Страница 31 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте привести примеры подобных многогранников.

Решение

Подобные многогранники — это многогранники, у которых все соответствующие двугранные углы равны, а отношения длин всех соответствующих рёбер одинаковы. Иначе говоря, один многогранник может быть получен из другого путём равномерного масштабирования (увеличения или уменьшения), возможно с поворотом или смещением.
Примеры подобных многогранников включают:
- Два куба разных размеров. Например, куб с ребром $a$ и куб с ребром $2a$. Все их соответствующие углы (90 градусов) равны, а отношение длин соответствующих рёбер постоянно ($1:2$).
- Два правильных тетраэдра разных размеров. Все правильные тетраэдры подобны друг другу.
- Два правильных октаэдра разных размеров. Все правильные октаэдры подобны друг другу.
- Два правильных додекаэдра разных размеров. Все правильные додекаэдры подобны друг другу.
- Два правильных икосаэдра разных размеров. Все правильные икосаэдры подобны друг другу.
- Два прямоугольных параллелепипеда, у которых соответствующие рёбра пропорциональны. Например, параллелепипед размером $2 \times 3 \times 4$ и параллелепипед размером $4 \times 6 \times 8$. Отношение всех соответствующих рёбер равно $1:2$.
- Любые два многогранника, которые являются платоновыми телами одного типа, но разного размера (например, два куба или два икосаэдра).

Ответ: Примеры подобных многогранников включают: два куба разных размеров; два правильных тетраэдра разных размеров; два прямоугольных параллелепипеда, у которых соответствующие рёбра пропорциональны.

Вопросы

1. Какая фигура в пространстве называется многогранником?

2. Что называется диагональю многогранника?

3. Какой многогранник называется: а) кубом; б) параллелепипедом; в) тетраэдром?

4. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

5. Как обозначают: а) куб; б) параллелепипед; в) тетраэдр?

6. Приведите примеры предметов из окружающего нас мира, имеющих форму: а) куба; б) параллелепипеда; в) тетраэдра.

7. Что называется разверткой многогранника?

8. Какое преобразование пространства называется движением?

9. Какие фигуры в пространстве называются равными?

10. Какое преобразование пространства называется подобием?

11. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

1. Какая фигура в пространстве называется многогранником?

Многогранником называется геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, которые называются его гранями. Границы этих многоугольников называются рёбрами многогранника, а вершины многоугольников – вершинами многогранника.

Ответ:

2. Что называется диагональю многогранника?

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две его вершины, которые не принадлежат одной грани.

Ответ:

3. Какой многогранник называется: а) кубом; б) параллелепипедом; в) тетраэдром?

а) кубом: Кубом называется правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все три измерения равны.

б) параллелепипедом: Параллелепипедом называется многогранник, все шесть граней которого являются параллелограммами. Его противоположные грани параллельны и равны.

в) тетраэдром: Тетраэдром называется многогранник, который имеет четыре грани, причем каждая из них является треугольником. Тетраэдр является простейшей пирамидой (треугольной пирамидой).

Ответ:

4. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками. Все углы между смежными рёбрами при каждой вершине равны $90^\circ$.

Ответ:

5. Как обозначают: а) куб; б) параллелепипед; в) тетраэдр?

а) куб: Куб обычно обозначают, перечисляя его вершины, например, куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются основаниями.

б) параллелепипед: Параллелепипед, как и куб, обычно обозначают, называя его вершины, например, параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

в) тетраэдр: Тетраэдр обычно обозначают, перечисляя его вершины, например, тетраэдр $ABCD$, где $ABC$ может быть основанием, а $D$ — вершиной.

Ответ:

6. Приведите примеры предметов из окружающего нас мира, имеющих форму: а) куба; б) параллелепипеда; в) тетраэдра.

а) куба: игральный кубик, кубик Рубика, сахарный кубик.

б) параллелепипеда: кирпич, книга, коробка, шкаф, большинство зданий.

в) тетраэдра: некоторые виды упаковок для молока или сока (например, Tetra Pak), некоторые дорожные знаки (в упрощённом виде), некоторые химические молекулы (например, метан $CH_4$).

Ответ:

7. Что называется разверткой многогранника?

Разверткой многогранника называется плоская фигура, которая получается, если поверхность многогранника "разрезать" по некоторым рёбрам и развернуть на плоскость так, чтобы все его грани лежали в одной плоскости без наложений.

Ответ:

8. Какое преобразование пространства называется движением?

Движением (или изометрией) называется такое преобразование пространства, которое сохраняет расстояния между любыми двумя точками. То есть, если преобразование $f$ переводит точки $A$ и $B$ в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то расстояние между $A$ и $B$ равно расстоянию между $A'$ и $B'$, т.е. $AB = A'B'$. Примерами движений являются параллельный перенос, поворот, симметрия.

Ответ:

9. Какие фигуры в пространстве называются равными?

Фигуры в пространстве называются равными (или конгруэнтными), если одну из них можно перевести в другую с помощью движения. Это означает, что они имеют одинаковую форму и одинаковые размеры.

Ответ:

10. Какое преобразование пространства называется подобием?

Подобием называется такое преобразование пространства, которое переводит одну фигуру в другую, сохраняя форму, но изменяя размеры всех линейных элементов в одном и том же постоянном отношении, называемом коэффициентом подобия. То есть, если преобразование $f$ переводит точки $A$ и $B$ в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то $A'B' = k \cdot AB$, где $k$ – положительный коэффициент подобия.

Ответ:

11. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

Фигуры в пространстве называются подобными, если одну из них можно получить из другой с помощью преобразования подобия. Это означает, что они имеют одинаковую форму, но могут отличаться размерами. Соотношения между соответствующими линейными размерами подобных фигур равны коэффициенту подобия.

Ответ:

3.1. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: а) тетраэдр; б) куб; в) параллелепипед?

a) тетраэдр

Решение

Тетраэдр является простейшим многогранником, который состоит из четырех треугольных граней, шести рёбер и четырех вершин. Это один из пяти правильных многогранников, также известный как треугольная пирамида.

Ответ: $V=4$, $P=6$, $\Gamma=4$

б) куб

Решение

Куб - это правильный шестигранник, частный случай параллелепипеда и призмы, все грани которого являются квадратами. Он имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.

Ответ: $V=8$, $P=12$, $\Gamma=6$

в) параллелепипед

Решение

Параллелепипед - это призма, основанием которой является параллелограмм. Он имеет шесть граней, каждая из которых является параллелограммом, двенадцать рёбер и восемь вершин.

Ответ: $V=8$, $P=12$, $\Gamma=6$

3.2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите прямые, содержащие его ребра и пересекающие плоскость $ABC$.

Решение

В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскость $ABC$ представляет собой плоскость нижнего основания. Прямая, содержащая ребро куба, пересекает плоскость $ABC$, если она имеет с этой плоскостью хотя бы одну общую точку. Рассмотрим все рёбра куба по отношению к плоскости $ABC$:

1. Прямые, содержащие рёбра, лежащие в плоскости $ABC$: К этой категории относятся рёбра, образующие нижнее основание куба ($ABCD$), которое совпадает с плоскостью $ABC$. Все точки прямых, содержащих эти рёбра, лежат в плоскости $ABC$. Это означает, что они пересекают плоскость по бесконечному числу точек. Эти рёбра: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

2. Прямые, содержащие рёбра, перпендикулярные плоскости $ABC$: Это вертикальные рёбра куба. Каждая прямая, содержащая такое ребро, перпендикулярна плоскости $ABC$ и пересекает её ровно в одной точке. Эти рёбра: $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Точками пересечения являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$ соответственно.

3. Прямые, содержащие рёбра, параллельные плоскости $ABC$ и не лежащие в ней: К этой категории относятся рёбра верхнего основания куба ($A_1 B_1 C_1 D_1$). Прямые, содержащие эти рёбра ($A_1 B_1$, $B_1 C_1$, $C_1 D_1$, $D_1 A_1$), параллельны плоскости $ABC$ и не имеют с ней общих точек, а значит, не пересекают её.

Таким образом, прямые, содержащие рёбра куба и пересекающие плоскость $ABC$, включают прямые, содержащие рёбра нижнего основания, и прямые, содержащие вертикальные рёбра.

Ответ: Прямые, содержащие рёбра куба и пересекающие плоскость $ABC$, это прямые $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$.

3.3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскости, содержащие его грани и пересекающие плоскость $BCC_1$.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскости, содержащие его грани и пересекающие плоскость $BCC_1$.

Решение

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет шесть граней, каждая из которых лежит в определенной плоскости. Плоскость, о которой идет речь в задаче для пересечения, — это плоскость $BCC_1$. Эта плоскость совпадает с плоскостью грани $BCC_1B_1$. Нам необходимо определить, какие из плоскостей, содержащих грани куба, пересекают плоскость $BCC_1$. Две плоскости пересекаются, если они имеют общую прямую и не являются параллельными или совпадающими.

• Плоскость $ABCD$ (нижняя грань): Эта плоскость содержит ребро $BC$. Ребро $BC$ также является стороной грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, принадлежит плоскости $BCC_1$. Таким образом, плоскость $ABCD$ пересекает плоскость $BCC_1$ по прямой $BC$.

• Плоскость $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя грань): Эта плоскость содержит ребро $B_1C_1$. Ребро $B_1C_1$ также является стороной грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, принадлежит плоскости $BCC_1$. Таким образом, плоскость $A_1B_1C_1D_1$ пересекает плоскость $BCC_1$ по прямой $B_1C_1$.

• Плоскость $ABB_1A_1$ (передняя грань): Эта плоскость содержит ребро $BB_1$. Ребро $BB_1$ также является стороной грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, принадлежит плоскости $BCC_1$. Таким образом, плоскость $ABB_1A_1$ пересекает плоскость $BCC_1$ по прямой $BB_1$.

• Плоскость $CDD_1C_1$ (задняя грань): Эта плоскость содержит ребро $CC_1$. Ребро $CC_1$ также является стороной грани $BCC_1B_1$ и, следовательно, принадлежит плоскости $BCC_1$. Таким образом, плоскость $CDD_1C_1$ пересекает плоскость $BCC_1$ по прямой $CC_1$.

• Плоскость $ADD_1A_1$ (левая грань): Эта плоскость является противоположной грани $BCC_1B_1$. В кубе противоположные грани параллельны. Следовательно, плоскость $ADD_1A_1$ параллельна плоскости $BCC_1$ и не пересекает ее.

• Плоскость $BCC_1B_1$ (правая грань): Эта плоскость является самой плоскостью $BCC_1$. Обычно под "пересечением" подразумеваются другие, отличные от заданной, плоскости. Поэтому эта плоскость, как совпадающая с заданной, не включается в список "пересекающих" плоскостей.

Ответ: Плоскостями, содержащими грани куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и пересекающими плоскость $BCC_1$, являются следующие:

• Плоскость $ABCD$

• Плоскость $A_1B_1C_1D_1$

• Плоскость $ABB_1A_1$

• Плоскость $CDD_1C_1$

3.4. На клетчатой бумаге изобразите тетраэдр, аналогичный данному на рисунке 3.6.

Рис. 3.6

Решение

Для того чтобы изобразить тетраэдр, аналогичный представленному на рисунке 3.6, на клеточной бумаге, необходимо последовательно нанести его вершины на сетку и затем соединить их линиями, соблюдая правила видимости ребер. Предположим, что каждая клетка бумаги представляет собой единицу измерения.

Сначала выберите любую точку пересечения линий сетки на бумаге в качестве отправной точки для первой вершины основания тетраэдра. Обозначим эту точку как $V_1$. Пусть ее условные координаты будут $(X_0, Y_0)$.

Далее, определите остальные две вершины основания относительно $V_1$: вторая вершина $V_2$ будет располагаться на 5 клеток правее и 2 клетки ниже от $V_1$, то есть в точке $(X_0 + 5, Y_0 - 2)$. Третья вершина $V_3$ будет находиться на 4 клетки правее и 1 клетку выше от $V_1$, то есть в точке $(X_0 + 4, Y_0 + 1)$.

Затем определите положение вершины тетраэдра (апекса), обозначим ее $V_4$. Она располагается относительно $V_1$ на 2 клетки правее и 4 клетки выше, то есть в точке $(X_0 + 2, Y_0 + 4)$.

После определения всех четырех вершин, приступайте к соединению их линиями. Ребро, соединяющее $V_1$ и $V_2$, является невидимым с данной точки зрения, поэтому его следует изобразить пунктирной линией. Ребра, соединяющие $V_2$ с $V_3$ и $V_3$ с $V_1$, являются видимыми ребрами основания и должны быть изображены сплошными линиями. Все ребра, идущие от апекса $V_4$ к вершинам основания $V_1$, $V_2$ и $V_3$, являются видимыми и также должны быть изображены сплошными линиями. Таким образом, соедините $V_4$ с $V_1$, $V_4$ с $V_2$ и $V_4$ с $V_3$ сплошными линиями.

В результате выполнения этих шагов вы получите изображение тетраэдра, которое будет полностью аналогично представленному на рисунке 3.6, с правильным соотношением размеров и перспективой на клеточной бумаге.

Ответ: Изображение тетраэдра достигается путем нанесения четырех вершин на клеточную бумагу по относительным координатам: три вершины основания $V_1(X_0, Y_0)$, $V_2(X_0+5, Y_0-2)$, $V_3(X_0+4, Y_0+1)$ и вершина апекса $V_4(X_0+2, Y_0+4)$. Далее соединить их линиями: ребро $V_1V_2$ пунктирной, а остальные ребра $V_2V_3$, $V_3V_1$, $V_4V_1$, $V_4V_2$, $V_4V_3$ сплошными линиями, соблюдая относительные расстояния и направления по клеткам.

3.5. На клетчатой бумаге изобразите куб, аналогичный данному на рисунке 3.7.

Рис. 3.7

Для того чтобы изобразить куб, аналогичный представленному на рисунке 3.7, на клетчатой бумаге, следуйте пошаговой инструкции:

1. Выберите точку на клетчатой бумаге, которая будет служить нижним левым углом видимой передней грани куба.

2. От выбранной точки проведите четыре отрезка, формирующие квадрат размером $4 \times 4$ клетки. Этот квадрат будет передней гранью куба. Все четыре стороны этого квадрата должны быть нарисованы сплошными линиями.

3. Теперь нарисуйте три видимые граничные линии, уходящие в глубину:
- От верхнего левого угла передней грани проведите отрезок на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Нарисуйте его сплошной линией.
- От верхнего правого угла передней грани проведите отрезок на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Нарисуйте его сплошной линией.
- От нижнего правого угла передней грани проведите отрезок на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Нарисуйте его сплошной линией.

4. Нарисуйте скрытую граничную линию, уходящую в глубину:
- От нижнего левого угла передней грани проведите отрезок на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Нарисуйте его пунктирной линией.

5. Завершите заднюю видимую часть куба, соединив концы сплошных линий, уходящих в глубину:
- Соедините верхние концы двух верхних сплошных линий. Этот отрезок должен быть сплошной линией.
- Соедините правые концы верхней правой и нижней правой сплошных линий. Этот отрезок должен быть сплошной линией.

6. Завершите заднюю скрытую часть куба, соединив концы оставшихся линий:
- Соедините нижний конец пунктирной линии с нижним концом нижней правой сплошной линии. Этот отрезок должен быть пунктирной линией.
- Соедините нижний конец пунктирной линии с верхним концом верхней левой сплошной линии. Этот отрезок должен быть пунктирной линией.

Ответ: Изображение куба на клетчатой бумаге выполнено согласно пошаговой инструкции, описанной выше.