Страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.4. Даны четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. Могут ли три из них принадлежать одной прямой?

Дано: Четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Найти: Могут ли три из них принадлежать одной прямой?

Решение:

Предположим, что три из данных четырех точек, назовем их $A$, $B$, $C$, принадлежат одной прямой. Пусть эта прямая будет $L$.

Тогда точки $A$, $B$, $C$ являются коллинеарными (лежащими на одной прямой $L$).

Пусть четвертая точка будет $D$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точки $D$ относительно прямой $L$:

1. Если точка $D$ лежит на прямой $L$, то все четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ являются коллинеарными. Если четыре точки коллинеарны, они всегда лежат в одной плоскости (например, любая плоскость, содержащая прямую $L$). Это противоречит исходному условию задачи, которое гласит, что данные четыре точки не принадлежат одной плоскости.

2. Если точка $D$ не лежит на прямой $L$, то, согласно аксиоме геометрии, через прямую $L$ и точку $D$, не лежащую на этой прямой, можно провести единственную плоскость. В этом случае, все четыре точки $A$, $B$, $C$ (поскольку они лежат на $L$) и $D$ будут принадлежать этой одной плоскости. Это также противоречит исходному условию задачи, что данные четыре точки не принадлежат одной плоскости.

В обоих возможных случаях наше предположение о том, что три точки принадлежат одной прямой, приводит к противоречию с заданным условием. Следовательно, наше предположение неверно.

Ответ: Нет, не могут.

2.5. Могут ли две плоскости иметь только:

а) одну общую точку;

б) две общие точки?

а) одну общую точку;

В трехмерном евклидовом пространстве две плоскости могут находиться в одном из трех возможных положений относительно друг друга: они могут быть параллельными и не иметь общих точек; они могут совпадать, имея бесконечное множество общих точек (все точки одной плоскости являются точками другой); или они могут пересекаться. Если две плоскости пересекаются, их пересечением всегда является прямая линия. Прямая линия, по определению, содержит бесконечное множество точек. Следовательно, если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку и при этом не совпадают, они должны пересекаться по линии, содержащей эту точку и все другие точки пересечения. Таким образом, две плоскости не могут иметь только одну общую точку.

Ответ: Нет.

б) две общие точки?

Если две плоскости имеют две общие точки, пусть это будут точки $A$ и $B$. Согласно аксиомам геометрии, через любые две различные точки проходит единственная прямая. Поскольку точки $A$ и $B$ являются общими для обеих плоскостей, прямая, проходящая через $A$ и $B$, должна полностью лежать в каждой из этих плоскостей. Прямая линия содержит бесконечное множество точек. Следовательно, все точки этой прямой являются общими для обеих плоскостей. Таким образом, две плоскости не могут иметь только две общие точки, так как если они имеют две общие точки, они автоматически имеют бесконечное множество общих точек, лежащих на прямой, проходящей через эти две точки.

Ответ: Нет.

2.6. Могут ли две плоскости иметь только две общие прямые?

Могут ли две плоскости иметь только две общие прямые?

В евклидовой геометрии, две плоскости в трехмерном пространстве могут находиться в трех различных взаимных положениях:

1.Плоскости параллельны и не совпадают: В этом случае у плоскостей нет общих точек. Следовательно, у них нет и общих прямых.

2.Плоскости совпадают: Если две плоскости совпадают (являются одной и той же плоскостью), то любая прямая, лежащая в этой плоскости, является общей для обеих. В этом случае у плоскостей бесконечно много общих прямых.

3.Плоскости пересекаются: Если две плоскости не параллельны и не совпадают, то они пересекаются. По одной из основных аксиом стереометрии (аксиома о пересечении плоскостей), если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, и эта прямая содержит все общие точки этих плоскостей. Таким образом, пересечением двух несовпадающих плоскостей всегда является одна единственная прямая. Любая прямая, которая является общей для двух пересекающихся плоскостей, должна полностью лежать на этой единственной прямой пересечения. Это означает, что две плоскости не могут иметь две различные общие прямые, если они не совпадают. Если бы существовали две различные общие прямые, например, $L_1$ и $L_2$, то обе эти прямые лежали бы в каждой из плоскостей. Это бы означало, что пересечение двух плоскостей содержит не одну прямую, а как минимум две различные прямые. Но две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Если две различные прямые принадлежат одной и той же плоскости, они определяют эту плоскость. Если две различные прямые ($L_1$ и $L_2$) являются общими для двух плоскостей, это возможно только в случае, когда эти плоскости полностью совпадают. Однако, для совпадающих плоскостей число общих прямых бесконечно, а не "только две".

Таким образом, две плоскости не могут иметь «только две» общие прямые. Они могут иметь либо ни одной (если они параллельны и не совпадают), либо одну (если они пересекаются), либо бесконечное количество общих прямых (если они совпадают).

Ответ: Нет.

2.7. Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. Определите по рисунку 2.4, каким еще плоскостям принадлежит точка $M$.

Рис. 2.4

По рисунку 2.4 видно, что точка $M$ расположена на пересечении плоскости $\alpha$ с плоскостями $\beta$ и $\gamma$.

Следовательно, помимо плоскости $\alpha$, точка $M$ принадлежит плоскостям $\beta$ и $\gamma$.

Ответ: $\beta$, $\gamma$.

2.8. На рисунке $2.5$ попарно пересекающиеся прямые $a, b, c$ пересе-кают плоскость соответственно в точках $A, B, C$. Правильно ли выполнен рисунок?

Рис. $2.5$

Решение

Условие задачи гласит, что прямые $a, b, c$ попарно пересекаются. Это означает, что каждая пара прямых имеет общую точку: $a \cap b$, $b \cap c$, $a \cap c$. Существует два основных случая для расположения трех попарно пересекающихся прямых:

1. Прямые $a, b, c$ лежат в одной плоскости (копланарны). В этом случае они либо пересекаются в одной общей точке (конкурентны), либо образуют треугольник в этой плоскости (если каждая пара пересекается в своей уникальной точке).

• Если прямые конкурентны в плоскости, то их единственная точка пересечения должна лежать на всех трех прямых. Если эта точка пересечения лежит на плоскости $\alpha$, то $A = B = C$, что противоречит рисунку, где $A, B, C$ - вершины треугольника. Если же эта точка не лежит на $\alpha$, то $A, B, C$ все равно будут лежать на одной прямой — линии пересечения плоскости, содержащей $a, b, c$, с плоскостью $\alpha$.
• Если прямые образуют треугольник в одной плоскости (т.е. $a \cap b \neq b \cap c \neq c \cap a$, но все точки пересечения лежат в одной плоскости), то плоскость, содержащая эти прямые, пересекается с плоскостью $\alpha$. В этом случае точки пересечения прямых $A, B, C$ с плоскостью $\alpha$ должны лежать на линии пересечения двух плоскостей, т.е. быть коллинеарными. На рисунке точки $A, B, C$ образуют треугольник, что означает, что они не коллинеарны. Следовательно, этот случай не соответствует изображению.

2. Прямые $a, b, c$ не лежат в одной плоскости. В трехмерном пространстве три попарно пересекающиеся прямые, которые не лежат в одной плоскости, обязательно должны пересекаться в одной общей точке (быть конкурентными).

• Пусть эта общая точка пересечения прямых $a, b, c$ будет $P$.
• Если точка $P$ лежит на плоскости $\alpha$, то $A = B = C = P$, что противоречит рисунку, где $A, B, C$ являются вершинами треугольника.
• Если точка $P$ не лежит на плоскости $\alpha$, то каждая прямая $a, b, c$, проходящая через $P$, пересечет плоскость $\alpha$ в своей уникальной точке $A, B, C$ соответственно. Эти три точки $A, B, C$ будут образовывать треугольник на плоскости $\alpha$. Именно такая конфигурация изображена на рисунке. Прямые $a, b, c$ исходят из одной точки над плоскостью $\alpha$ и пересекают её в точках $A, B, C$.

Кроме того, на рисунке соблюдены правила изображения: части прямых, расположенные выше плоскости $\alpha$, показаны сплошными линиями, так как они видимы. Части прямых, расположенные ниже плоскости $\alpha$, показаны пунктирными линиями, так как они скрыты плоскостью. Треугольник $ABC$, лежащий на плоскости $\alpha$, также изображен сплошными линиями, что соответствует его видимости.

Таким образом, рисунок выполнен правильно, демонстрируя случай, когда попарно пересекающиеся прямые являются конкурентными и их общая точка не лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ: Рисунок выполнен правильно.

2.9. Две вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли, что и две другие вершины параллелограмма принадлежат этой плоскости?

Дано:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.
Пусть $\alpha$ - некоторая плоскость.
Две вершины параллелограмма, например $A$ и $B$, принадлежат плоскости $\alpha$: $A \in \alpha$, $B \in \alpha$.
Точка $O$ пересечения диагоналей параллелограмма принадлежит плоскости $\alpha$: $O \in \alpha$.

Найти:

Верно ли, что две другие вершины параллелограмма ($C$ и $D$) также принадлежат плоскости $\alpha$? То есть, верно ли, что $C \in \alpha$ и $D \in \alpha$?

Решение:

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ - вершины параллелограмма, а $O$ - точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.
По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$ и серединой диагонали $BD$.
Нам дано, что вершины $A$ и $B$, а также точка $O$ лежат в одной плоскости $\alpha$.
Рассмотрим диагональ $AC$. Поскольку точки $A$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии, гласящей, что если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости, вся прямая $AO$ (на которой лежит диагональ $AC$) принадлежит плоскости $\alpha$.
Так как $O$ - середина диагонали $AC$, это означает, что точка $C$ лежит на прямой $AO$ (и находится на таком же расстоянии от $O$, как и $A$, но в противоположном направлении, т.е. $AO = OC$). Поскольку прямая $AO$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $C$, лежащая на этой прямой, должна принадлежать плоскости $\alpha$. То есть $C \in \alpha$.
Аналогично рассмотрим диагональ $BD$. Поскольку точки $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то вся прямая $BO$ (на которой лежит диагональ $BD$) также принадлежит плоскости $\alpha$.
Так как $O$ - середина диагонали $BD$, то точка $D$ лежит на прямой $BO$ (и находится на таком же расстоянии от $O$, как и $B$, но в противоположном направлении, т.е. $BO = OD$). Поскольку прямая $BO$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $D$, лежащая на этой прямой, должна принадлежать плоскости $\alpha$. То есть $D \in \alpha$.
Таким образом, все четыре вершины параллелограмма $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Ответ:

Да, это верно.

2.10. Что является пересечением двух плоскостей, изображенных на рисунке 2.6?

Рис. 2.6

Решение

На рисунке 2.6 изображены две плоскости: плоскость $\alpha$ и плоскость $\beta$. Плоскости пересекаются. Согласно аксиомам стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. На данном рисунке плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую линию, которая является их пересечением. Эта линия изображена частично сплошной, частично пунктирной (для обозначения невидимой части) и на ней лежит точка $C$.

Ответ:

Пересечением двух плоскостей, изображенных на рисунке 2.6, является прямая линия.

2.11. На сколько частей разбивают пространство:

а) две;

б) три пересекающиеся плоскости?

Дано:

Пространство.

Пересекающиеся плоскости.

Найти:

Количество частей, на которые разбивают пространство:

а) две пересекающиеся плоскости;

б) три пересекающиеся плоскости.

Решение:

а) две

Одна плоскость делит пространство на две полуплоскости. Если добавить вторую плоскость, которая пересекает первую, то эта вторая плоскость пересечет каждую из двух уже существующих полуплоскостей. При пересечении плоскости образуют линию. Каждая из двух полуплоскостей будет разделена этой новой плоскостью на две части. Таким образом, количество частей удваивается.

Пусть $P_n$ - максимальное количество частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить пространство.

Для $n=0$ (нет плоскостей): $P_0 = 1$ (все пространство).

Для $n=1$ (одна плоскость): $P_1 = 2$ части.

Для $n=2$ (две пересекающиеся плоскости): Вторая плоскость пересекает каждую из 2 частей, созданных первой плоскостью, добавляя 2 новые части. Таким образом, общее количество частей будет $P_2 = P_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4 части

б) три пересекающиеся плоскости

Для определения максимального числа частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить пространство, предполагается, что плоскости находятся в "общем положении". Это означает, что никакие две плоскости не параллельны, никакие три плоскости не пересекаются по одной линии, и никакие четыре плоскости не пересекаются в одной точке.

В этом случае, каждую добавляемую плоскость можно представить как разрезающую существующие области пространства. Количество новых областей, которые добавляет $n$-я плоскость, равно максимальному числу частей, на которые $n-1$ прямых могут разделить плоскость. Формула для максимального количества частей $L_k$, на которые $k$ прямых делят плоскость, равна $L_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$.

Рекурсивная формула для $P_n$ (максимальное количество частей, на которые $n$ плоскостей делят пространство) выглядит так: $P_n = P_{n-1} + L_{n-1}$.

Мы уже знаем:

$P_0 = 1$

$P_1 = 2$

$P_2 = 4$

Теперь для $n=3$ (три пересекающиеся плоскости):

Третья плоскость пересечет две предыдущие плоскости. Поскольку плоскости находятся в общем положении, эти пересечения образуют две прямые линии на третьей плоскости. Эти две прямые линии пересекутся в одной точке (точке пересечения всех трех плоскостей).

Количество частей, на которые эти $k=2$ прямые линии делят плоскость (в данном случае, третью плоскость), равно $L_2 = \frac{2(2+1)}{2} + 1 = \frac{2 \times 3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Каждая из этих 4 частей на третьей плоскости соответствует делению одной из существующих 4 областей пространства (созданных первыми двумя плоскостями) на две новые. Таким образом, третья плоскость добавляет 4 новые части.

Следовательно, общее количество частей: $P_3 = P_2 + L_2 = 4 + 4 = 8$.

Также можно использовать общую формулу для максимального числа частей, на которые $n$ плоскостей делят 3D-пространство: $P_n = \binom{n}{3} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}$.

Для $n=3$:

$P_3 = \binom{3}{3} + \binom{3}{2} + \binom{3}{1} + \binom{3}{0} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8$.

Представьте три координатные плоскости ($xy$, $yz$, $xz$). Они пересекаются в начале координат (0,0,0) и делят пространство на 8 октантов.

Ответ: 8 частей

2.12. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство четыре плоскости?

Дано

Число плоскостей $n = 4$.

Найти:

Наибольшее число частей, на которые могут разбить пространство четыре плоскости.

Решение

Для того чтобы определить наибольшее число частей, на которые $n$ плоскостей могут разбить пространство, необходимо расположить плоскости в "общем положении". Это означает, что никакие две плоскости не параллельны, никакие три плоскости не пересекаются по одной линии, и никакие четыре плоскости не пересекаются в одной точке.

Пусть $R_n$ обозначает максимальное число частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить пространство. Мы можем вывести рекуррентное соотношение для $R_n$. Когда мы добавляем $n$-ю плоскость, она пересекает каждую из предыдущих $n-1$ плоскостей. В "общем положении" эти $n-1$ пересечений образуют $n-1$ линий на новой плоскости. Эти $n-1$ линий, находящихся в "общем положении" на новой плоскости, делят ее на определенное количество областей. Каждая из этих областей на $n$-й плоскости делит существующую 3D часть пространства на две новые части. Таким образом, число добавляемых частей равно числу областей, на которые $n$-я плоскость делится линиями пересечения с предыдущими $n-1$ плоскостями.

Максимальное число областей, на которые $k$ прямых могут разделить плоскость, задается формулой $N_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$.

Тогда рекуррентное соотношение для $R_n$ будет выглядеть так:

$R_n = R_{n-1} + N_{n-1}$

Начнем с начальных условий:

• При $n=0$ плоскостях: пространство не разделено, поэтому $R_0 = 1$.
• При $n=1$ плоскости: плоскость делит пространство на 2 части. $R_1 = R_0 + N_0 = 1 + (\frac{0(0+1)}{2} + 1) = 1 + 1 = 2$.
• При $n=2$ плоскостях: $R_2 = R_1 + N_1 = 2 + (\frac{1(1+1)}{2} + 1) = 2 + 2 = 4$.
• При $n=3$ плоскостях: $R_3 = R_2 + N_2 = 4 + (\frac{2(2+1)}{2} + 1) = 4 + 4 = 8$.
• При $n=4$ плоскостях: Сначала найдем $N_3$ (число областей, на которые 3 прямые делят плоскость):
  $N_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.
  Теперь вычислим $R_4$:
  $R_4 = R_3 + N_3 = 8 + 7 = 15$.

Также можно использовать общую формулу для максимального числа частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить 3D пространство:

$R_n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}$

Для $n=4$:

$R_4 = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3}$

Вычислим каждое слагаемое:

• $\binom{4}{0} = 1$ (означает изначальное пространство без плоскостей)
• $\binom{4}{1} = 4$ (количество частей, добавленных первой плоскостью)
• $\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ (количество частей, добавленных линиями пересечения)
• $\binom{4}{3} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4$ (количество частей, добавленных точками пересечения)

Суммируя эти значения:

$R_4 = 1 + 4 + 6 + 4 = 15$.

Ответ:

Наибольшее число частей, на которые четыре плоскости могут разбить пространство, равно 15.

2.13. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство три плоскости?

Дано:

Число плоскостей: $n = 3$

Найти:

Наибольшее число частей, на которые могут разбить пространство три плоскости: $R_3$

Решение:

Рассмотрим, как добавление каждой новой плоскости увеличивает число частей, на которые разбито пространство. Для достижения наибольшего числа частей необходимо, чтобы каждая новая плоскость пересекала все предыдущие плоскости, и чтобы все линии пересечения на новой плоскости были непараллельны и пересекались в одной точке.

0 плоскостей: Пространство представляет собой одну целую часть. Количество частей: $R_0 = 1$.

1 плоскость: Первая плоскость делит пространство на две части. Количество частей: $R_1 = R_0 + 1 = 1 + 1 = 2$.

2 плоскости: Для того чтобы получить максимальное число частей, вторая плоскость должна пересекать первую. Линия их пересечения делит вторую плоскость на две части. Каждая из этих частей «прорезает» одну из существующих частей пространства, тем самым удваивая ее. Таким образом, добавляется $2$ новые части. Количество частей: $R_2 = R_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

3 плоскости: Для того чтобы получить максимальное число частей, третья плоскость должна пересекать каждую из двух предыдущих плоскостей. В результате на третьей плоскости образуются две линии пересечения. Для максимального разбиения эти две линии должны пересекаться (не быть параллельными). Две пересекающиеся линии делят плоскость на $4$ части. Каждая из этих $4$ частей на третьей плоскости «прорезает» одну из существующих частей пространства, добавляя новую часть. Таким образом, добавляется $4$ новые части. Количество частей: $R_3 = R_2 + 4 = 4 + 4 = 8$.

Общая формула для максимального числа частей $R_n$, на которые $n$ плоскостей могут разбить пространство, может быть выражена как $R_n = R_{n-1} + L_{n-1}$, где $L_{n-1}$ - максимальное число частей, на которые $(n-1)$ линий делят плоскость. Формула для $k$ линий на плоскости: $L_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$.

Используя рекурсивную формулу с $L_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$:

$R_0 = 1$

$R_1 = R_0 + L_0 = 1 + (\frac{0(1)}{2} + 1) = 1 + 1 = 2$

$R_2 = R_1 + L_1 = 2 + (\frac{1(2)}{2} + 1) = 2 + (1 + 1) = 2 + 2 = 4$

$R_3 = R_2 + L_2 = 4 + (\frac{2(3)}{2} + 1) = 4 + (3 + 1) = 4 + 4 = 8$

Наибольшее число частей, на которые могут разбить пространство три плоскости, равно 8.

Ответ:

8

2.14. Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Дано:

Имеются две плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ являются различными (то есть $\alpha \ne \beta$).

Существует общая точка $A$ для этих плоскостей, то есть $A \in \alpha$ и $A \in \beta$.

Найти:

Доказать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$, проходящей через точку $A$.

Решение:

Рассмотрим две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

По условию задачи, эти две плоскости имеют общую точку $A$.

В стереометрии (геометрии пространства) существует фундаментальная аксиома, описывающая взаимное расположение двух плоскостей. Эта аксиома гласит: "Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой линии, и все общие точки этих плоскостей лежат на этой прямой."

Проведем доказательство, опираясь на эту и другие базовые аксиомы:

1. По определению, две плоскости в пространстве могут быть либо параллельными (не иметь общих точек), либо совпадать (иметь все точки общими), либо пересекаться (иметь общую линию).

2. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$. Это немедленно исключает возможность того, что они параллельны, так как параллельные плоскости не имеют общих точек.

3. Также по условию, мы рассматриваем случай, когда плоскости "пересекаются", что подразумевает, что они не совпадают. Если бы они совпадали ($\alpha = \beta$), то их "пересечением" была бы сама плоскость, а не прямая линия. Таким образом, мы имеем дело с двумя различными, но не параллельными плоскостями.

4. Согласно аксиоме стереометрии об пересечении плоскостей: "Если две различные плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой линии." Обозначим эту прямую линию как $l$. Эта прямая $l$ является множеством всех общих точек плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

5. Поскольку точка $A$ является общей точкой для обеих плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (по условию), то по определению линии пересечения, точка $A$ обязательно должна принадлежать этой линии $l$.

6. Линия пересечения двух различных плоскостей является единственной. Если бы существовали две различные линии пересечения, то через эти две линии можно было бы провести не более одной плоскости (если они пересекаются) или их расположение приводило бы к противоречию с определением плоскости и линии.

Таким образом, доказано, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через их общую точку.

Ответ:

Доказано.

2.15. Докажите, что для любой плоскости найдется точка, ей не принадлежащая.

Докажите, что для любой плоскости найдется точка, ей не принадлежащая.

Решение

Проведем доказательство от противного. Предположим, что существует некоторая плоскость $\alpha$, которой принадлежат абсолютно все точки пространства.

В евклидовой геометрии, которая описывает наше трехмерное пространство, плоскость является двумерным объектом или подпространством. Если бы все точки пространства принадлежали одной плоскости, это означало бы, что само пространство является двумерным.

Однако, одной из фундаментальных аксиом или следствий из аксиом стереометрии (геометрии в пространстве) является утверждение о том, что существует по крайней мере четыре точки, которые не лежат в одной плоскости. Например, три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость. Четвертая точка может быть выбрана таким образом, чтобы она не лежала в этой плоскости, тем самым образуя тетраэдр.

Если рассматривать пространство как декартову систему координат $\mathbb{R}^3$, то любая плоскость может быть задана линейным уравнением $ax + by + cz = d$, где $a, b, c, d$ - константы, и хотя бы одна из $a, b, c$ не равна нулю (т.е., $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$). Для любой такой плоскости мы всегда можем найти точку $P(x_0, y_0, z_0)$, которая не удовлетворяет этому уравнению, то есть $ax_0 + by_0 + cz_0 \neq d$. Например, если $c \neq 0$, то точка $(0, 0, d/c + 1)$ очевидно не будет лежать в плоскости $ax + by + cz = d$.

Таким образом, предположение о том, что все точки пространства принадлежат одной плоскости, приводит к противоречию с аксиомами трехмерной евклидовой геометрии, которые описывают пространство как трехмерное, а не двумерное.

Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и для любой заданной плоскости всегда найдется точка, которая ей не принадлежит.

Ответ: Доказано.