Номер 2.9, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.9. Две вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат одной плоскости. Верно ли, что и две другие вершины параллелограмма принадлежат этой плоскости?

Дано:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.
Пусть $\alpha$ - некоторая плоскость.
Две вершины параллелограмма, например $A$ и $B$, принадлежат плоскости $\alpha$: $A \in \alpha$, $B \in \alpha$.
Точка $O$ пересечения диагоналей параллелограмма принадлежит плоскости $\alpha$: $O \in \alpha$.

Найти:

Верно ли, что две другие вершины параллелограмма ($C$ и $D$) также принадлежат плоскости $\alpha$? То есть, верно ли, что $C \in \alpha$ и $D \in \alpha$?

Решение:

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ - вершины параллелограмма, а $O$ - точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.
По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$ и серединой диагонали $BD$.
Нам дано, что вершины $A$ и $B$, а также точка $O$ лежат в одной плоскости $\alpha$.
Рассмотрим диагональ $AC$. Поскольку точки $A$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то по аксиоме стереометрии, гласящей, что если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости, вся прямая $AO$ (на которой лежит диагональ $AC$) принадлежит плоскости $\alpha$.
Так как $O$ - середина диагонали $AC$, это означает, что точка $C$ лежит на прямой $AO$ (и находится на таком же расстоянии от $O$, как и $A$, но в противоположном направлении, т.е. $AO = OC$). Поскольку прямая $AO$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $C$, лежащая на этой прямой, должна принадлежать плоскости $\alpha$. То есть $C \in \alpha$.
Аналогично рассмотрим диагональ $BD$. Поскольку точки $B$ и $O$ принадлежат плоскости $\alpha$, то вся прямая $BO$ (на которой лежит диагональ $BD$) также принадлежит плоскости $\alpha$.
Так как $O$ - середина диагонали $BD$, то точка $D$ лежит на прямой $BO$ (и находится на таком же расстоянии от $O$, как и $B$, но в противоположном направлении, т.е. $BO = OD$). Поскольку прямая $BO$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $D$, лежащая на этой прямой, должна принадлежать плоскости $\alpha$. То есть $D \in \alpha$.
Таким образом, все четыре вершины параллелограмма $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

Ответ:

Да, это верно.