Номер 2.14, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.14. Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Дано:

Имеются две плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ являются различными (то есть $\alpha \ne \beta$).

Существует общая точка $A$ для этих плоскостей, то есть $A \in \alpha$ и $A \in \beta$.

Найти:

Доказать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$, проходящей через точку $A$.

Решение:

Рассмотрим две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

По условию задачи, эти две плоскости имеют общую точку $A$.

В стереометрии (геометрии пространства) существует фундаментальная аксиома, описывающая взаимное расположение двух плоскостей. Эта аксиома гласит: "Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой линии, и все общие точки этих плоскостей лежат на этой прямой."

Проведем доказательство, опираясь на эту и другие базовые аксиомы:

1. По определению, две плоскости в пространстве могут быть либо параллельными (не иметь общих точек), либо совпадать (иметь все точки общими), либо пересекаться (иметь общую линию).

2. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $A$. Это немедленно исключает возможность того, что они параллельны, так как параллельные плоскости не имеют общих точек.

3. Также по условию, мы рассматриваем случай, когда плоскости "пересекаются", что подразумевает, что они не совпадают. Если бы они совпадали ($\alpha = \beta$), то их "пересечением" была бы сама плоскость, а не прямая линия. Таким образом, мы имеем дело с двумя различными, но не параллельными плоскостями.

4. Согласно аксиоме стереометрии об пересечении плоскостей: "Если две различные плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой линии." Обозначим эту прямую линию как $l$. Эта прямая $l$ является множеством всех общих точек плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

5. Поскольку точка $A$ является общей точкой для обеих плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (по условию), то по определению линии пересечения, точка $A$ обязательно должна принадлежать этой линии $l$.

6. Линия пересечения двух различных плоскостей является единственной. Если бы существовали две различные линии пересечения, то через эти две линии можно было бы провести не более одной плоскости (если они пересекаются) или их расположение приводило бы к противоречию с определением плоскости и линии.

Таким образом, доказано, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через их общую точку.

Ответ:

Доказано.