Номер 2.13, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.13. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство три плоскости?

Дано:

Число плоскостей: $n = 3$

Найти:

Наибольшее число частей, на которые могут разбить пространство три плоскости: $R_3$

Решение:

Рассмотрим, как добавление каждой новой плоскости увеличивает число частей, на которые разбито пространство. Для достижения наибольшего числа частей необходимо, чтобы каждая новая плоскость пересекала все предыдущие плоскости, и чтобы все линии пересечения на новой плоскости были непараллельны и пересекались в одной точке.

0 плоскостей: Пространство представляет собой одну целую часть. Количество частей: $R_0 = 1$.

1 плоскость: Первая плоскость делит пространство на две части. Количество частей: $R_1 = R_0 + 1 = 1 + 1 = 2$.

2 плоскости: Для того чтобы получить максимальное число частей, вторая плоскость должна пересекать первую. Линия их пересечения делит вторую плоскость на две части. Каждая из этих частей «прорезает» одну из существующих частей пространства, тем самым удваивая ее. Таким образом, добавляется $2$ новые части. Количество частей: $R_2 = R_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

3 плоскости: Для того чтобы получить максимальное число частей, третья плоскость должна пересекать каждую из двух предыдущих плоскостей. В результате на третьей плоскости образуются две линии пересечения. Для максимального разбиения эти две линии должны пересекаться (не быть параллельными). Две пересекающиеся линии делят плоскость на $4$ части. Каждая из этих $4$ частей на третьей плоскости «прорезает» одну из существующих частей пространства, добавляя новую часть. Таким образом, добавляется $4$ новые части. Количество частей: $R_3 = R_2 + 4 = 4 + 4 = 8$.

Общая формула для максимального числа частей $R_n$, на которые $n$ плоскостей могут разбить пространство, может быть выражена как $R_n = R_{n-1} + L_{n-1}$, где $L_{n-1}$ - максимальное число частей, на которые $(n-1)$ линий делят плоскость. Формула для $k$ линий на плоскости: $L_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$.

Используя рекурсивную формулу с $L_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$:

$R_0 = 1$

$R_1 = R_0 + L_0 = 1 + (\frac{0(1)}{2} + 1) = 1 + 1 = 2$

$R_2 = R_1 + L_1 = 2 + (\frac{1(2)}{2} + 1) = 2 + (1 + 1) = 2 + 2 = 4$

$R_3 = R_2 + L_2 = 4 + (\frac{2(3)}{2} + 1) = 4 + (3 + 1) = 4 + 4 = 8$

Наибольшее число частей, на которые могут разбить пространство три плоскости, равно 8.

Ответ:

8