Номер 2.12, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.12. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство четыре плоскости?

Дано

Число плоскостей $n = 4$.

Найти:

Наибольшее число частей, на которые могут разбить пространство четыре плоскости.

Решение

Для того чтобы определить наибольшее число частей, на которые $n$ плоскостей могут разбить пространство, необходимо расположить плоскости в "общем положении". Это означает, что никакие две плоскости не параллельны, никакие три плоскости не пересекаются по одной линии, и никакие четыре плоскости не пересекаются в одной точке.

Пусть $R_n$ обозначает максимальное число частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить пространство. Мы можем вывести рекуррентное соотношение для $R_n$. Когда мы добавляем $n$-ю плоскость, она пересекает каждую из предыдущих $n-1$ плоскостей. В "общем положении" эти $n-1$ пересечений образуют $n-1$ линий на новой плоскости. Эти $n-1$ линий, находящихся в "общем положении" на новой плоскости, делят ее на определенное количество областей. Каждая из этих областей на $n$-й плоскости делит существующую 3D часть пространства на две новые части. Таким образом, число добавляемых частей равно числу областей, на которые $n$-я плоскость делится линиями пересечения с предыдущими $n-1$ плоскостями.

Максимальное число областей, на которые $k$ прямых могут разделить плоскость, задается формулой $N_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$.

Тогда рекуррентное соотношение для $R_n$ будет выглядеть так:

$R_n = R_{n-1} + N_{n-1}$

Начнем с начальных условий:

• При $n=0$ плоскостях: пространство не разделено, поэтому $R_0 = 1$.
• При $n=1$ плоскости: плоскость делит пространство на 2 части. $R_1 = R_0 + N_0 = 1 + (\frac{0(0+1)}{2} + 1) = 1 + 1 = 2$.
• При $n=2$ плоскостях: $R_2 = R_1 + N_1 = 2 + (\frac{1(1+1)}{2} + 1) = 2 + 2 = 4$.
• При $n=3$ плоскостях: $R_3 = R_2 + N_2 = 4 + (\frac{2(2+1)}{2} + 1) = 4 + 4 = 8$.
• При $n=4$ плоскостях: Сначала найдем $N_3$ (число областей, на которые 3 прямые делят плоскость):
  $N_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.
  Теперь вычислим $R_4$:
  $R_4 = R_3 + N_3 = 8 + 7 = 15$.

Также можно использовать общую формулу для максимального числа частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить 3D пространство:

$R_n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3}$

Для $n=4$:

$R_4 = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3}$

Вычислим каждое слагаемое:

• $\binom{4}{0} = 1$ (означает изначальное пространство без плоскостей)
• $\binom{4}{1} = 4$ (количество частей, добавленных первой плоскостью)
• $\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ (количество частей, добавленных линиями пересечения)
• $\binom{4}{3} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4$ (количество частей, добавленных точками пересечения)

Суммируя эти значения:

$R_4 = 1 + 4 + 6 + 4 = 15$.

Ответ:

Наибольшее число частей, на которые четыре плоскости могут разбить пространство, равно 15.