Номер 2.8, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.8. На рисунке $2.5$ попарно пересекающиеся прямые $a, b, c$ пересе-кают плоскость соответственно в точках $A, B, C$. Правильно ли выполнен рисунок?

Рис. $2.5$

Решение

Условие задачи гласит, что прямые $a, b, c$ попарно пересекаются. Это означает, что каждая пара прямых имеет общую точку: $a \cap b$, $b \cap c$, $a \cap c$. Существует два основных случая для расположения трех попарно пересекающихся прямых:

1. Прямые $a, b, c$ лежат в одной плоскости (копланарны). В этом случае они либо пересекаются в одной общей точке (конкурентны), либо образуют треугольник в этой плоскости (если каждая пара пересекается в своей уникальной точке).

• Если прямые конкурентны в плоскости, то их единственная точка пересечения должна лежать на всех трех прямых. Если эта точка пересечения лежит на плоскости $\alpha$, то $A = B = C$, что противоречит рисунку, где $A, B, C$ - вершины треугольника. Если же эта точка не лежит на $\alpha$, то $A, B, C$ все равно будут лежать на одной прямой — линии пересечения плоскости, содержащей $a, b, c$, с плоскостью $\alpha$.
• Если прямые образуют треугольник в одной плоскости (т.е. $a \cap b \neq b \cap c \neq c \cap a$, но все точки пересечения лежат в одной плоскости), то плоскость, содержащая эти прямые, пересекается с плоскостью $\alpha$. В этом случае точки пересечения прямых $A, B, C$ с плоскостью $\alpha$ должны лежать на линии пересечения двух плоскостей, т.е. быть коллинеарными. На рисунке точки $A, B, C$ образуют треугольник, что означает, что они не коллинеарны. Следовательно, этот случай не соответствует изображению.

2. Прямые $a, b, c$ не лежат в одной плоскости. В трехмерном пространстве три попарно пересекающиеся прямые, которые не лежат в одной плоскости, обязательно должны пересекаться в одной общей точке (быть конкурентными).

• Пусть эта общая точка пересечения прямых $a, b, c$ будет $P$.
• Если точка $P$ лежит на плоскости $\alpha$, то $A = B = C = P$, что противоречит рисунку, где $A, B, C$ являются вершинами треугольника.
• Если точка $P$ не лежит на плоскости $\alpha$, то каждая прямая $a, b, c$, проходящая через $P$, пересечет плоскость $\alpha$ в своей уникальной точке $A, B, C$ соответственно. Эти три точки $A, B, C$ будут образовывать треугольник на плоскости $\alpha$. Именно такая конфигурация изображена на рисунке. Прямые $a, b, c$ исходят из одной точки над плоскостью $\alpha$ и пересекают её в точках $A, B, C$.

Кроме того, на рисунке соблюдены правила изображения: части прямых, расположенные выше плоскости $\alpha$, показаны сплошными линиями, так как они видимы. Части прямых, расположенные ниже плоскости $\alpha$, показаны пунктирными линиями, так как они скрыты плоскостью. Треугольник $ABC$, лежащий на плоскости $\alpha$, также изображен сплошными линиями, что соответствует его видимости.

Таким образом, рисунок выполнен правильно, демонстрируя случай, когда попарно пересекающиеся прямые являются конкурентными и их общая точка не лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ: Рисунок выполнен правильно.