Номер 2.11, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.11. На сколько частей разбивают пространство:

а) две;

б) три пересекающиеся плоскости?

Дано:

Пространство.

Пересекающиеся плоскости.

Найти:

Количество частей, на которые разбивают пространство:

а) две пересекающиеся плоскости;

б) три пересекающиеся плоскости.

Решение:

а) две

Одна плоскость делит пространство на две полуплоскости. Если добавить вторую плоскость, которая пересекает первую, то эта вторая плоскость пересечет каждую из двух уже существующих полуплоскостей. При пересечении плоскости образуют линию. Каждая из двух полуплоскостей будет разделена этой новой плоскостью на две части. Таким образом, количество частей удваивается.

Пусть $P_n$ - максимальное количество частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить пространство.

Для $n=0$ (нет плоскостей): $P_0 = 1$ (все пространство).

Для $n=1$ (одна плоскость): $P_1 = 2$ части.

Для $n=2$ (две пересекающиеся плоскости): Вторая плоскость пересекает каждую из 2 частей, созданных первой плоскостью, добавляя 2 новые части. Таким образом, общее количество частей будет $P_2 = P_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4 части

б) три пересекающиеся плоскости

Для определения максимального числа частей, на которые $n$ плоскостей могут разделить пространство, предполагается, что плоскости находятся в "общем положении". Это означает, что никакие две плоскости не параллельны, никакие три плоскости не пересекаются по одной линии, и никакие четыре плоскости не пересекаются в одной точке.

В этом случае, каждую добавляемую плоскость можно представить как разрезающую существующие области пространства. Количество новых областей, которые добавляет $n$-я плоскость, равно максимальному числу частей, на которые $n-1$ прямых могут разделить плоскость. Формула для максимального количества частей $L_k$, на которые $k$ прямых делят плоскость, равна $L_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1$.

Рекурсивная формула для $P_n$ (максимальное количество частей, на которые $n$ плоскостей делят пространство) выглядит так: $P_n = P_{n-1} + L_{n-1}$.

Мы уже знаем:

$P_0 = 1$

$P_1 = 2$

$P_2 = 4$

Теперь для $n=3$ (три пересекающиеся плоскости):

Третья плоскость пересечет две предыдущие плоскости. Поскольку плоскости находятся в общем положении, эти пересечения образуют две прямые линии на третьей плоскости. Эти две прямые линии пересекутся в одной точке (точке пересечения всех трех плоскостей).

Количество частей, на которые эти $k=2$ прямые линии делят плоскость (в данном случае, третью плоскость), равно $L_2 = \frac{2(2+1)}{2} + 1 = \frac{2 \times 3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Каждая из этих 4 частей на третьей плоскости соответствует делению одной из существующих 4 областей пространства (созданных первыми двумя плоскостями) на две новые. Таким образом, третья плоскость добавляет 4 новые части.

Следовательно, общее количество частей: $P_3 = P_2 + L_2 = 4 + 4 = 8$.

Также можно использовать общую формулу для максимального числа частей, на которые $n$ плоскостей делят 3D-пространство: $P_n = \binom{n}{3} + \binom{n}{2} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0}$.

Для $n=3$:

$P_3 = \binom{3}{3} + \binom{3}{2} + \binom{3}{1} + \binom{3}{0} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8$.

Представьте три координатные плоскости ($xy$, $yz$, $xz$). Они пересекаются в начале координат (0,0,0) и делят пространство на 8 октантов.

Ответ: 8 частей