Номер 2.6, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2.6. Могут ли две плоскости иметь только две общие прямые?

Могут ли две плоскости иметь только две общие прямые?

В евклидовой геометрии, две плоскости в трехмерном пространстве могут находиться в трех различных взаимных положениях:

1.Плоскости параллельны и не совпадают: В этом случае у плоскостей нет общих точек. Следовательно, у них нет и общих прямых.

2.Плоскости совпадают: Если две плоскости совпадают (являются одной и той же плоскостью), то любая прямая, лежащая в этой плоскости, является общей для обеих. В этом случае у плоскостей бесконечно много общих прямых.

3.Плоскости пересекаются: Если две плоскости не параллельны и не совпадают, то они пересекаются. По одной из основных аксиом стереометрии (аксиома о пересечении плоскостей), если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, и эта прямая содержит все общие точки этих плоскостей. Таким образом, пересечением двух несовпадающих плоскостей всегда является одна единственная прямая. Любая прямая, которая является общей для двух пересекающихся плоскостей, должна полностью лежать на этой единственной прямой пересечения. Это означает, что две плоскости не могут иметь две различные общие прямые, если они не совпадают. Если бы существовали две различные общие прямые, например, $L_1$ и $L_2$, то обе эти прямые лежали бы в каждой из плоскостей. Это бы означало, что пересечение двух плоскостей содержит не одну прямую, а как минимум две различные прямые. Но две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо параллельны. Если две различные прямые принадлежат одной и той же плоскости, они определяют эту плоскость. Если две различные прямые ($L_1$ и $L_2$) являются общими для двух плоскостей, это возможно только в случае, когда эти плоскости полностью совпадают. Однако, для совпадающих плоскостей число общих прямых бесконечно, а не "только две".

Таким образом, две плоскости не могут иметь «только две» общие прямые. Они могут иметь либо ни одной (если они параллельны и не совпадают), либо одну (если они пересекаются), либо бесконечное количество общих прямых (если они совпадают).

Ответ: Нет.