Вопросы, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что означает слово "аксиома"?

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

3. Используя обозначения, переформулируйте аксиомы стереометрии.

4. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?

5. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?

6. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?

1. Что означает слово "аксиома"?

Слово "аксиома" (от др.-греч. 'аксиома' – достоинство, нечто самоочевидное, принимаемое без доказательств) означает исходное положение или утверждение, которое принимается без доказательства в какой-либо теории или системе, поскольку его истинность считается очевидной или общепринятой. Аксиомы служат фундаментом, на котором строятся все остальные утверждения и теоремы данной теории.

Ответ: Аксиома – это исходное положение какой-либо теории, принимаемое без доказательства в силу его очевидности и служащее основой для вывода других утверждений.

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

Основные аксиомы стереометрии:
1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Ответ: Аксиомы стереометрии включают положения о существовании единственной плоскости через три неколлинеарные точки, о том, что прямая полностью лежит в плоскости, если две ее точки лежат в ней, и о том, что две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую.

3. Используя обозначения, переформулируйте аксиомы стереометрии.

Обозначения: точки – $A, B, C, M$, прямая – $a, l$, плоскость – $\alpha, \beta$.
Аксиомы стереометрии с обозначениями:
1. Через любые три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой (т.е., они неколлинеарны), проходит плоскость $\alpha$, и притом только одна.
2. Если две различные точки $A$ и $B$ прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$ ($A \in a, B \in a, A \in \alpha, B \in \alpha$), то и вся прямая $a$ лежит в этой плоскости ($a \subset \alpha$).
3. Если две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$ ($M \in \alpha$ и $M \in \beta$), то они пересекаются по прямой $l$, проходящей через эту точку ($l = \alpha \cap \beta$, причем $M \in l$).

Ответ: Аксиомы стереометрии с использованием обозначений: 1) через любые три неколлинеарные точки $A, B, C$ проходит единственная плоскость $\alpha$; 2) если две точки $A, B$ прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $a$ лежит в этой плоскости ($a \subset \alpha$); 3) если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, то они пересекаются по прямой $l$, проходящей через $M$ ($l = \alpha \cap \beta$).

4. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?

Согласно аксиоме стереометрии, которая гласит: "Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости". Следовательно, если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то все точки этой прямой принадлежат данной плоскости, то есть прямая целиком лежит в плоскости.

Ответ: Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она целиком лежит в этой плоскости.

5. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?

Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит только одна плоскость. Это следует из первой аксиомы стереометрии. Прямая содержит как минимум две точки. Вместе с точкой, не лежащей на этой прямой, мы получаем три точки, которые гарантированно не лежат на одной прямой. Согласно первой аксиоме, через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость.

Ответ: Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит только одна плоскость.

6. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?

Через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. Это можно объяснить, используя первую аксиому стереометрии. Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Они имеют одну общую точку пересечения $M$. На прямой $a$ выберем еще одну точку $A$, отличную от $M$. На прямой $b$ выберем еще одну точку $B$, отличную от $M$. Точки $A, B, M$ не лежат на одной прямой (так как $A$ лежит на $a$, $B$ на $b$, а $a$ и $b$ - различные пересекающиеся прямые). Согласно первой аксиоме, через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Эта плоскость будет содержать обе пересекающиеся прямые.

Ответ: Через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость.