Номер 1.10, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1.10. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из $n$ точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости?

Имеется $n$ различных точек в пространстве.

Условие: никакие четыре точки из заданных $n$ точек не принадлежат одной плоскости.

Количество различных плоскостей, проходящих через различные тройки из этих $n$ точек.

В евклидовой геометрии одна и только одна плоскость может быть проведена через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Условие задачи "никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости" гарантирует, что любые три выбранные точки не будут коллинеарны (лежать на одной прямой). Если бы три точки (например, A, B, C) были коллинеарны, то вместе с любой четвертой точкой (D), не лежащей на их прямой, но находящейся в той же плоскости, они образовали бы четыре копланарные точки, что противоречило бы условию задачи. Следовательно, любые три выбранные точки будут не коллинеарны и однозначно определят плоскость.

Таким образом, задача сводится к определению количества способов выбрать 3 точки из $n$ имеющихся точек, при этом порядок выбора не имеет значения, поскольку тройка точек {A, B, C} определяет ту же плоскость, что и {B, A, C} или любая другая перестановка тех же трех точек. Это классическая задача на сочетания.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов без повторений определяется формулой:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, $n$ — общее количество точек, а $k=3$, так как мы выбираем тройки точек для определения плоскости.

Подставим значения в формулу:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!}$

Разложим факториалы:

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)!$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Подставим эти значения обратно в формулу для $C_n^3$:

$C_n^3 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)!}{6 \times (n-3)!}$

Сократим $(n-3)!$ в числителе и знаменателе:

$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Количество плоскостей, проходящих через различные тройки из $n$ точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости, равно $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.