Номер 1.9, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1.9. Сколько прямых проходит через различные пары из $n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Дано:

множество из $n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

Найти:

количество прямых, проходящих через различные пары из этих $n$ точек.

Решение:

для того чтобы построить одну прямую, необходимо и достаточно иметь две различные точки. условие задачи "никакие три из которых не принадлежат одной прямой" является ключевым. оно означает, что любая выбранная пара из $n$ точек будет однозначно определять одну уникальную прямую, и эта прямая не будет проходить через какую-либо третью точку из заданного множества. если бы три или более точки лежали на одной прямой, то одна и та же прямая могла бы быть образована несколькими различными парами точек, что усложнило бы подсчет.

таким образом, задача сводится к определению количества способов, которыми можно выбрать 2 точки из общего числа $n$ точек. поскольку порядок выбора точек не имеет значения (прямая, проходящая через точки a и b, идентична прямой, проходящей через точки b и a), мы используем формулу для сочетаний (комбинаций) без повторений.

формула для числа сочетаний $k$ элементов из множества $n$ элементов (обозначаемая как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$) выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

в нашем случае, для определения прямой, мы выбираем $k=2$ точки из $n$ доступных точек. подставим $k=2$ в формулу сочетаний:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

далее, мы можем разложить факториалы для упрощения выражения:

$n! = n \times (n-1) \times (n-2)!$

$2! = 2 \times 1 = 2$

подставим эти разложения обратно в формулу:

$C_n^2 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times (n-2)!}$

сократив $(n-2)!$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

это и есть искомое количество прямых.

Ответ:

количество прямых, проходящих через различные пары из $n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, равно $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.