Страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1.5. Точки $A, B, C, D$ не принадлежат одной плоскости. Укажите точку пересечения прямой $AD$ и плоскости:

а) $ABC$;

б) $BCD$.

Дано: Точки $A, B, C, D$ не принадлежат одной плоскости.

Найти:

а) Точку пересечения прямой $AD$ и плоскости $ABC$;

б) Точку пересечения прямой $AD$ и плоскости $BCD$.

Решение:

а) ABC

Плоскость $ABC$ определяется тремя точками $A, B, C$. Прямая $AD$ проходит через точки $A$ и $D$. Поскольку точка $A$ является одной из точек, определяющих плоскость $ABC$, и одновременно принадлежит прямой $AD$, то эта точка является их общей точкой, то есть точкой пересечения.

Ответ: $A$

б) BCD

Плоскость $BCD$ определяется тремя точками $B, C, D$. Прямая $AD$ проходит через точки $A$ и $D$. Поскольку точка $D$ является одной из точек, определяющих плоскость $BCD$, и одновременно принадлежит прямой $AD$, то эта точка является их общей точкой, то есть точкой пересечения.

Ответ: $D$

1.6. Точки $A$, $B$, $C$, $D$ не принадлежат одной плоскости. Укажите прямую пересечения плоскости $ABC$ и плоскости:

а) $ABD$;

б) $BCD$;

в) $ACD$.

Решение

Две различные плоскости в пространстве, если они пересекаются, пересекаются по прямой линии. Эта прямая состоит из всех точек, которые принадлежат обеим плоскостям. Для определения такой прямой достаточно найти две общие точки для обеих плоскостей. В данной задаче указано, что точки A, B, C, D не принадлежат одной плоскости, что гарантирует, что любые три из них (неколлинеарные) определяют уникальную плоскость, и если плоскости образованы разными наборами из трех точек, они, как правило, будут пересекаться, если имеют общие точки.

а) ABD

Рассмотрим плоскость ABC и плоскость ABD. Обе эти плоскости содержат точки A и B. Поскольку две различные точки определяют единственную прямую, прямая AB является общей для обеих плоскостей. Следовательно, прямая AB является прямой пересечения плоскостей ABC и ABD.

Ответ: Прямая AB.

б) BCD

Рассмотрим плоскость ABC и плоскость BCD. Обе эти плоскости содержат точки B и C. Поскольку две различные точки определяют единственную прямую, прямая BC является общей для обеих плоскостей. Следовательно, прямая BC является прямой пересечения плоскостей ABC и BCD.

Ответ: Прямая BC.

в) ACD

Рассмотрим плоскость ABC и плоскость ACD. Обе эти плоскости содержат точки A и C. Поскольку две различные точки определяют единственную прямую, прямая AC является общей для обеих плоскостей. Следовательно, прямая AC является прямой пересечения плоскостей ABC и ACD.

Ответ: Прямая AC.

1.7. Сколько прямых проходит через различные пары из:

а) трех точек;

б) четырех точек;

в) пяти точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

a) трех точек

Дано:

количество точек $n = 3$.

Найти:

количество прямых, проходящих через различные пары из этих трех точек.

Решение:

Согласно условию задачи, никакие три из данных точек не принадлежат одной прямой. Это означает, что каждая пара точек определяет одну уникальную прямую. Количество способов выбрать 2 точки из $n$ точек равно числу сочетаний из $n$ по 2.

Используем формулу сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=3$ и $k=2$.

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3

б) четырех точек

Дано:

количество точек $n = 4$.

Найти:

количество прямых, проходящих через различные пары из этих четырех точек.

Решение:

Согласно условию задачи, никакие три из данных точек не принадлежат одной прямой. Это означает, что каждая пара точек определяет одну уникальную прямую. Количество способов выбрать 2 точки из $n$ точек равно числу сочетаний из $n$ по 2.

Используем формулу сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ и $k=2$.

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Ответ: 6

в) пяти точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой

Дано:

количество точек $n = 5$.

Найти:

количество прямых, проходящих через различные пары из этих пяти точек.

Решение:

Согласно условию задачи, никакие три из данных точек не принадлежат одной прямой. Это означает, что каждая пара точек определяет одну уникальную прямую. Количество способов выбрать 2 точки из $n$ точек равно числу сочетаний из $n$ по 2.

Используем формулу сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=5$ и $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{12} = 10$

Ответ: 10

1.8. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из четырех точек, не принадлежащих одной плоскости?

Дано:

Четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Найти:

Количество плоскостей, проходящих через различные тройки из этих четырех точек.

Решение:

Условие "четыре точки не принадлежат одной плоскости" означает, что никакие три из этих точек не являются коллинеарными (не лежат на одной прямой), и никакие четыре точки не являются компланарными (не лежат в одной плоскости). В геометрии известно, что через любые три не коллинеарные точки проходит единственная плоскость.

Таким образом, задача сводится к определению количества уникальных наборов из трех точек, которые можно выбрать из данных четырех точек. Это классическая задача на комбинаторику, где порядок выбора точек не имеет значения. Мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, которая выглядит следующим образом:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n$ - общее количество точек, $n=4$.
• $k$ - количество точек, необходимых для определения плоскости, $k=3$.

Подставим эти значения в формулу:

$C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!}$

$C(4, 3) = \frac{4!}{3!1!}$

Распишем факториалы:

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$1! = 1$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу сочетаний:

$C(4, 3) = \frac{24}{6 \times 1}$

$C(4, 3) = \frac{24}{6}$

$C(4, 3) = 4$

Таким образом, из четырех некомпланарных точек можно образовать 4 различные тройки точек, и каждая такая тройка определяет уникальную плоскость.

Ответ:

4

1.9. Сколько прямых проходит через различные пары из $n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Дано:

множество из $n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

Найти:

количество прямых, проходящих через различные пары из этих $n$ точек.

Решение:

для того чтобы построить одну прямую, необходимо и достаточно иметь две различные точки. условие задачи "никакие три из которых не принадлежат одной прямой" является ключевым. оно означает, что любая выбранная пара из $n$ точек будет однозначно определять одну уникальную прямую, и эта прямая не будет проходить через какую-либо третью точку из заданного множества. если бы три или более точки лежали на одной прямой, то одна и та же прямая могла бы быть образована несколькими различными парами точек, что усложнило бы подсчет.

таким образом, задача сводится к определению количества способов, которыми можно выбрать 2 точки из общего числа $n$ точек. поскольку порядок выбора точек не имеет значения (прямая, проходящая через точки a и b, идентична прямой, проходящей через точки b и a), мы используем формулу для сочетаний (комбинаций) без повторений.

формула для числа сочетаний $k$ элементов из множества $n$ элементов (обозначаемая как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$) выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

в нашем случае, для определения прямой, мы выбираем $k=2$ точки из $n$ доступных точек. подставим $k=2$ в формулу сочетаний:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

далее, мы можем разложить факториалы для упрощения выражения:

$n! = n \times (n-1) \times (n-2)!$

$2! = 2 \times 1 = 2$

подставим эти разложения обратно в формулу:

$C_n^2 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times (n-2)!}$

сократив $(n-2)!$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

это и есть искомое количество прямых.

Ответ:

количество прямых, проходящих через различные пары из $n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, равно $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

1.10. Сколько плоскостей проходит через различные тройки из $n$ точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости?

Имеется $n$ различных точек в пространстве.

Условие: никакие четыре точки из заданных $n$ точек не принадлежат одной плоскости.

Количество различных плоскостей, проходящих через различные тройки из этих $n$ точек.

В евклидовой геометрии одна и только одна плоскость может быть проведена через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Условие задачи "никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости" гарантирует, что любые три выбранные точки не будут коллинеарны (лежать на одной прямой). Если бы три точки (например, A, B, C) были коллинеарны, то вместе с любой четвертой точкой (D), не лежащей на их прямой, но находящейся в той же плоскости, они образовали бы четыре копланарные точки, что противоречило бы условию задачи. Следовательно, любые три выбранные точки будут не коллинеарны и однозначно определят плоскость.

Таким образом, задача сводится к определению количества способов выбрать 3 точки из $n$ имеющихся точек, при этом порядок выбора не имеет значения, поскольку тройка точек {A, B, C} определяет ту же плоскость, что и {B, A, C} или любая другая перестановка тех же трех точек. Это классическая задача на сочетания.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов без повторений определяется формулой:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, $n$ — общее количество точек, а $k=3$, так как мы выбираем тройки точек для определения плоскости.

Подставим значения в формулу:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!}$

Разложим факториалы:

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)!$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Подставим эти значения обратно в формулу для $C_n^3$:

$C_n^3 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)!}{6 \times (n-3)!}$

Сократим $(n-3)!$ в числителе и знаменателе:

$C_n^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

Количество плоскостей, проходящих через различные тройки из $n$ точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости, равно $\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

1.11. Повторите аксиомы геометрии на плоскости.

Повторите аксиомы геометрии на плоскости.

Аксиомы геометрии на плоскости (евклидовой геометрии), как правило, основываются на аксиоматике Гильберта или схожих системах, которые разделяют аксиомы на несколько групп:

1. Аксиомы принадлежности (связи):
• через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• на каждой прямой лежат по крайней мере две точки.
• существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Аксиомы порядка:
• если точка B лежит между точками A и C, то A, B, C являются различными точками одной прямой.
• если B лежит между A и C, то C не лежит между A и B, и A не лежит между B и C.
• для любых двух различных точек A и B существует такая точка C, что B лежит между A и C.
• (аксиома Паша) если прямая пересекает одну из сторон треугольника (не проходя через вершину), то она пересекает и другую сторону.

3. Аксиомы конгруэнтности (равенства):
• для любого отрезка AB и любого луча с началом в точке A' существует единственная точка B' на этом луче такая, что отрезок $A'B'$ конгруэнтен отрезку $AB$.
• если отрезки $AB$ и $CD$ конгруэнтны отрезку $EF$, то отрезки $AB$ и $CD$ конгруэнтны друг другу (транзитивность конгруэнтности).
• (аксиома сложения отрезков) если B лежит между A и C, и B' лежит между A' и C', и $AB \cong A'B'$, и $BC \cong B'C'$, то $AC \cong A'C'$.
• для любого угла $\angle ABC$ и любого луча B'A' существует единственный луч B'C' такой, что $\angle ABC \cong \angle A'B'C'$ и точки C и C' лежат по одну сторону от прямых AB и A'B' соответственно.
• если $\angle ABC \cong \angle DEF$ и $\angle ABC \cong \angle GHI$, то $\angle DEF \cong \angle GHI$ (транзитивность конгруэнтности углов).
• (аксиома сложения углов) если луч BD лежит между лучами BA и BC, и луч B'D' лежит между лучами B'A' и B'C', и $\angle ABD \cong \angle A'B'D'$, и $\angle DBC \cong \angle D'B'C'$, то $\angle ABC \cong \angle A'B'C'$.
• (признак конгруэнтности по двум сторонам и углу между ними - SAS) если в двух треугольниках две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.

4. Аксиома параллельных (аксиома параллельности Евклида / аксиома Плейфэра):
• через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

5. Аксиомы непрерывности:
• (аксиома Архимеда) если AB и CD - любые два отрезка, то существует такое натуральное число $n$, что $n$ отрезков CD, отложенных последовательно от A по прямой, содержащей AB, превзойдут AB.
• (аксиома полноты / Дедекинда) если точки прямой разбиты на два непустых класса так, что всякая точка первого класса лежит раньше всякой точки второго класса, то существует единственная точка, принадлежащая одному из классов, которая разделяет эти классы.

Ответ: основные аксиомы геометрии на плоскости включают аксиомы принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности, которые совместно определяют евклидово пространство.

1.12. Сформулируйте какие-нибудь аксиомы геометрии на плоскости.

Геометрия на плоскости основывается на системе аксиом, которые принимаются без доказательств и служат исходными положениями для построения всей теории. Ниже представлены некоторые из них, сгруппированные по категориям:

1. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

2. На каждой прямой лежит по меньшей мере две точки. Существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиомы порядка

1. Если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то $A$, $B$, $C$ являются различными точками одной прямой, и точка $B$ также лежит между $C$ и $A$.

2. Для любых двух различных точек $A$

2. Для любых двух различных точек $A$ и $C$ существует по меньшей мере одна точка $B$ на прямой $AC$ такая, что $C$ лежит между $A$ и $B$.

3. Из любых трех различных точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиомы конгруэнтности

1. Для данного отрезка $AB$

3. Из любых трех различных точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиомы конгруэнтности

1. Для данного отрезка $AB$ и данной точки $A'$ на данной прямой $a'$, на заданной стороне от точки $A'$ на прямой $a'$, существует одна и только одна точка $B'$ такая, что отрезок $AB$ конгруэнтен отрезку $A'B'$. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе. Если отрезок $AB$ конгруэнтен $A'B'$, то $A'B'$ конгруэнтен $AB$. Если $AB$ конгруэнтен $A'B'$ и $A'B'$ конгруэнтен $A''B''$, то $AB$ конгруэнтен $A''B''$.

2. Если отрезки $AB$ и $BC$ конгруэнтны отрезкам $A'B'$ и $B'C'$ соответственно, и точка $B$ лежит между $A$ и $C$, а точка $B'$ между $A'$ и $C'$, то отрезок $AC$ конгруэнтен отрезку $A'C'$.

3. Для данного угла $\angle ABC$ и данного луча $B'A'$, на заданной стороне от прямой $A'B'$, существует один и только один луч $B'C'$ такой, что угол $\angle A'B'C'$ конгруэнтен углу $\angle ABC$. Каждый угол конгруэнтен самому себе. Если угол $\angle ABC$ конгруэнтен $\angle A'B'C'$, то $\angle A'B'C'$ конгруэнтен $\angle ABC$. Если $\angle ABC$ конгруэнтен $\angle A'B'C'$ и $\angle A'B'C'$ конгруэнтен $\angle A''B''C''$, то $\angle ABC$ конгруэнтен $\angle A''B''C''$.

4. Если в двух треугольниках $ABC$ и $A'B'C'$ стороны $AB$ и $AC$ конгруэнтны сторонам $A'B'$ и $A'C'$ соответственно, и углы $\angle BAC$ и $\angle B'A'C'$ конгруэнтны, то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ конгруэнтны (т.е. все их соответствующие стороны и углы конгруэнтны).

Аксиома параллельности

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.