Страница 21 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте изобразить прямую, не пересекающую плоскость.

Изображение прямой, не пересекающей плоскость

Дано: прямая $l$ и плоскость $\alpha$ в трехмерном пространстве.

Найти: Условие, при котором прямая $l$ не пересекает плоскость $\alpha$, и описание способа ее изображения.

Решение:

Прямая не пересекает плоскость, если она параллельна этой плоскости и не лежит в ней. В трехмерном пространстве существуют три возможных взаимных расположения прямой и плоскости:

1. Прямая пересекает плоскость в одной точке.
2. Прямая лежит в плоскости (пересекает ее во всех своих точках).
3. Прямая параллельна плоскости и не имеет с ней общих точек.

Для того чтобы изобразить прямую, не пересекающую плоскость, необходимо, чтобы прямая была параллельна данной плоскости и находилась вне ее. Это означает, что любое направление, определяющее прямую, должно быть параллельно какому-либо направлению, лежащему в плоскости.

Визуализировать это можно следующим образом:

1. Представьте себе плоскую поверхность, например, стол или пол. Это будет ваша плоскость.
2. Теперь представьте прямую, которая находится над или под этой плоскостью (или рядом с ней, но не касаясь ее), и при этом идет в том же "направлении", что и сама плоскость, не сближаясь и не отдаляясь от нее. Например, если плоскость — это пол, то прямая может быть изображена как прямая линия на потолке или как длинная прямая палка, подвешенная параллельно полу на некотором расстоянии от него.
3. Математически, если плоскость задана уравнением $ax + by + cz + d = 0$, и прямая задана в параметрической форме как $x = x_0 + kt$, $y = y_0 + lt$, $z = z_0 + mt$, то условие параллельности прямой плоскости (и отсутствия точек пересечения) означает, что вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (a, b, c)$ перпендикулярен направляющему вектору прямой $\vec{v} = (k, l, m)$. Это выражается скалярным произведением: $a k + b l + c m = 0$. При этом точка $(x_0, y_0, z_0)$ не должна удовлетворять уравнению плоскости (т.е. $a x_0 + b y_0 + c z_0 + d \ne 0$), чтобы прямая не лежала в плоскости.

Ответ: Чтобы изобразить прямую, не пересекающую плоскость, необходимо представить прямую, которая параллельна данной плоскости и не имеет с ней общих точек.