Страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

72. В параллелограмме ABCD укажите векторы:

а) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$;

б) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$;

в) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Найти:

Указать векторы, являющиеся результатом следующих сумм:

a) $\vec{AB} + \vec{AD}$

б) $\vec{AC} + \vec{CD}$

в) $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$

Решение:

В параллелограмме $ABCD$ действуют следующие правила для векторов:

• Правило параллелограмма: Сумма двух векторов, исходящих из одной вершины параллелограмма, равна вектору, представляющему собой диагональ, исходящую из этой же вершины. Например, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

• Правило треугольника: Если конец одного вектора является началом другого вектора, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. Например, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

• Свойства сторон параллелограмма: Противоположные стороны параллельны и равны по длине, что означает равенство соответствующих векторов при одинаковом направлении: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$. Вектор, идущий в противоположном направлении, равен отрицательному вектору: $\vec{CB} = -\vec{BC}$.

a)

Для суммы $\vec{AB} + \vec{AD}$ применим правило параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ начинаются в общей вершине $A$. Их сумма будет равна вектору, представляющему диагональ параллелограмма, исходящую из этой же вершины $A$. Эта диагональ - $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

б)

Для суммы $\vec{AC} + \vec{CD}$ используем правило треугольника. Вектор $\vec{AC}$ заканчивается в точке $C$, и вектор $\vec{CD}$ начинается в точке $C$. Следовательно, их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора ($A$) к концу второго вектора ($D$).

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AD}$

в)

Для суммы $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$ можно использовать несколько подходов.

Способ 1 (Перегруппировка и правило треугольника):
Перегруппируем слагаемые в выражении $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$ для удобства применения правила треугольника:

$\vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}$

Сначала сложим первые два вектора $\vec{AD} + \vec{DC}$. По правилу треугольника, это будет вектор $\vec{AC}$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$\vec{AC} + \vec{CB}$

Теперь снова применим правило треугольника к сумме $\vec{AC} + \vec{CB}$. Вектор $\vec{AC}$ заканчивается в точке $C$, и вектор $\vec{CB}$ начинается в точке $C$. Их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора ($A$) к концу второго вектора ($B$).

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Способ 2 (Замена векторов на равные):
Используем свойства параллелограмма: $\vec{DC} = \vec{AB}$ (противоположные стороны, одинаковое направление) и $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Также, $\vec{BC} = \vec{AD}$ (противоположные стороны, одинаковое направление).
Тогда $\vec{CB} = -\vec{AD}$.

Подставим эти эквивалентные векторы в исходное выражение:

$\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) + \vec{AB}$

Сумма вектора и его противоположного равна нулевому вектору: $\vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{0}$.

Таким образом, выражение становится:

$\vec{0} + \vec{AB} = \vec{AB}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\vec{AB}$

73. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 4$, $BC = 3$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и равны 5. Найдите модуль суммы векторов:

а) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

$AB = 4$.

$BC = 3$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

$AC = BD = 5$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны. Все величины даны в одной системе.

Найти:

а) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника и правилами сложения векторов.

В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB=4$ и $BC=3$. По теореме Пифагора длина диагоналей $AC = BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $O$, которая является их серединой. Это означает, что отрезки $AO, OC, BO, OD$ равны по длине: $|\vec{AO}| = |\vec{OC}| = |\vec{BO}| = |\vec{OD}| = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{2} = 2.5$.

Важные векторные равенства, исходящие из свойства середины:
Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ направлены вдоль диагонали $AC$ от $A$ к $O$ и от $O$ к $C$ соответственно. Они имеют одинаковое направление и равны по модулю, поэтому $\vec{AO} = \vec{OC}$.
Аналогично, векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ направлены вдоль диагонали $BD$ от $B$ к $O$ и от $O$ к $D$ соответственно. Они имеют одинаковое направление и равны по модулю, поэтому $\vec{BO} = \vec{OD}$.

а) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$

По правилу параллелограмма сложения векторов, если два вектора $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ исходят из одной вершины прямоугольника и являются его смежными сторонами, то их сумма равна вектору диагонали, исходящему из той же вершины.

Следовательно, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

Модуль этой суммы равен длине диагонали $AC$.

$|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}| = 5$.

Ответ: $5$

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$

Мы установили, что $\vec{BO} = \vec{OD}$ (вектор от $B$ к $O$ равен вектору от $O$ к $D$).

Подставим $\vec{OD}$ вместо $\vec{BO}$ в выражение:

$|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AO} + \vec{OD}|$.

По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AO} + \vec{OD}$ представляет собой вектор, идущий от начальной точки первого вектора к конечной точке второго вектора, то есть $\vec{AD}$.

Модуль суммы равен длине стороны $AD$. В прямоугольнике $ABCD$, $AD = BC = 3$.

$|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}| = 3$.

Ответ: $3$

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$

Мы установили, что $\vec{OC} = \vec{AO}$ (вектор от $O$ к $C$ равен вектору от $A$ к $O$).

Подставим $\vec{AO}$ вместо $\vec{OC}$ в выражение:

$|\vec{OB} + \vec{OC}| = |\vec{OB} + \vec{AO}|$.

Переставим слагаемые для удобства применения правила треугольника: $|\vec{AO} + \vec{OB}|$.

По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AO} + \vec{OB}$ представляет собой вектор $\vec{AB}$.

Модуль суммы равен длине стороны $AB$.

$|\vec{OB} + \vec{OC}| = |\vec{AB}| = 4$.

Ответ: $4$

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Выразим векторы диагоналей через векторы сторон прямоугольника. Используем правило треугольника:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор $\vec{CD}$ направлен противоположно вектору $\vec{AB}$, но их длины равны. Следовательно, $\vec{CD} = -\vec{AB}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = \vec{BC} + (-\vec{AB}) = \vec{BC} - \vec{AB}$.

Теперь сложим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{BC} - \vec{AB})$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные векторы:

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{BC} - \vec{AB}$.

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} - \vec{AB}) + (\vec{BC} + \vec{BC})$.

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{0} + 2\vec{BC}$.

$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{BC}$.

Модуль полученного вектора равен:

$|\vec{AC} + \vec{BD}| = |2\vec{BC}| = 2|\vec{BC}|$.

Так как $|\vec{BC}| = 3$, то:

$|\vec{AC} + \vec{BD}| = 2 \times 3 = 6$.

Ответ: $6$

74. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ равны соответственно 14 и 10 и пересекаются в точке $O$. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$;

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$;

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$.

Дано

Ромб $ABCD$.
Длины диагоналей: $AC = 14$, $BD = 10$.
Диагонали пересекаются в точке $O$.

Найти:

а) Длину вектора $\vec{AB} - \vec{AD}$
б) Длину вектора $\vec{AB} - \vec{BC}$
в) Длину вектора $2\vec{AB} - \vec{AC}$
г) Длину вектора $\vec{BC} - \vec{OC}$

Решение

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Точка $O$ является серединой обеих диагоналей. Таким образом, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ и $BO = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$
По правилу вычитания векторов с общим началом, $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. Следовательно, $|\vec{AB} - \vec{AD}| = |\vec{DB}| = BD = 10$.
Ответ: 10

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$
В ромбе (как и в любом параллелограмме) противоположные векторы равны, то есть $\vec{BC} = \vec{AD}$. Подставим это равенство в искомое выражение: $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{AD}$. Согласно пункту (а), эта разность равна вектору $\vec{DB}$. Следовательно, $|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{DB}| = BD = 10$.
Ответ: 10

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$
Используем правило сложения векторов для треугольника $ABC$: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Подставим это выражение для $\vec{AC}$ в данное: $2\vec{AB} - \vec{AC} = 2\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{BC}) = 2\vec{AB} - \vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{BC}$. Как показано в пункте (б), длина этого вектора равна 10. Таким образом, $|2\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{DB}| = 10$.
Ответ: 10

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$
Векторную разность можно представить как сумму: $\vec{BC} - \vec{OC} = \vec{BC} + (-\vec{OC})$. Вектор $-\vec{OC}$ противоположен вектору $\vec{OC}$ и равен вектору $\vec{CO}$. Таким образом, $\vec{BC} - \vec{OC} = \vec{BC} + \vec{CO}$. По правилу сложения векторов (правило треугольника), если конец первого вектора ($\vec{BC}$) совпадает с началом второго вектора ($\vec{CO}$), то их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, это вектор $\vec{BO}$. $|\vec{BC} - \vec{OC}| = |\vec{BO}|$. Длина отрезка $BO$ равна половине длины диагонали $BD$. $BO = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Следовательно, $|\vec{BC} - \vec{OC}| = 5$.
Ответ: 5

75. Диагонали правильного шестиугольника $ABCDEF$, стороны которого равны 1, пересекаются в точке $O$. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AO} - \vec{CD}$

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Длина стороны $a = 1$.

Диагонали пересекаются в точке $O$.

Найти:

Длину вектора:

a) $|\vec{AO} - \vec{CD}|$

б) $|\vec{AE} - \vec{OE}|$

в) $|\vec{AO} - \vec{FE}|$

Решение:

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ с центром $O$ и длиной стороны $a=1$, расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны: $OA = OB = OC = OD = OE = OF = 1$.

Также, для правильного шестиугольника с центром $O$, справедливы следующие векторные равенства:

$\vec{AO} = \vec{BC}$

$\vec{BO} = \vec{CD}$

$\vec{CO} = \vec{DE}$

$\vec{DO} = \vec{EF}$

$\vec{EO} = \vec{FA}$

$\vec{FO} = \vec{AB}$

Кроме того, вектор из центра к вершине противоположен вектору из центра к противоположной вершине (например, $\vec{OA} = -\vec{OD}$).

a) $\vec{AO} - \vec{CD}$

Используем векторное равенство $\vec{CD} = \vec{BO}$:

$\vec{AO} - \vec{CD} = \vec{AO} - \vec{BO}$

Вектор $\vec{BO}$ противоположен вектору $\vec{OB}$, то есть $\vec{BO} = -\vec{OB}$. Следовательно, $-\vec{BO} = \vec{OB}$.

Тогда выражение принимает вид:

$\vec{AO} - \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OB}$

По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$.

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны шестиугольника, которая по условию равна $1$.

$|\vec{AO} - \vec{CD}| = |\vec{AB}| = 1$.

Ответ: $1$

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

Вектор $\vec{AE}$ можно представить как разность радиус-векторов конечной и начальной точек относительно центра $O$: $\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\vec{AE} - \vec{OE} = (\vec{OE} - \vec{OA}) - \vec{OE}$

Раскроем скобки и упростим:

$\vec{OE} - \vec{OA} - \vec{OE} = -\vec{OA}$

Длина вектора $-\vec{OA}$ равна длине вектора $\vec{OA}$, который является радиус-вектором от центра до вершины. Его длина равна длине стороны шестиугольника, то есть $1$.

$|\vec{AE} - \vec{OE}| = |-\vec{OA}| = |\vec{OA}| = 1$.

Ответ: $1$

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Используем одно из специфических векторных равенств для правильного шестиугольника: $\vec{AO} = \vec{FE}$. Это равенство означает, что вектор из вершины $A$ к центру $O$ совпадает с вектором, образующим сторону $FE$ (они параллельны, имеют одинаковую длину и направление).

Подставим $\vec{FE} = \vec{AO}$ в выражение:

$\vec{AO} - \vec{FE} = \vec{AO} - \vec{AO}$

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору $\vec{0}$.

Длина нулевого вектора равна $0$.

$|\vec{AO} - \vec{FE}| = |\vec{0}| = 0$.

Ответ: $0$

76. В прямоугольнике $ABCD$ $AB=4$, $AD=3$, диагонали $AC$ и $BD$ равны 5. Найдите длину вектора:

а) $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$;

б) $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Дано:
Прямоугольник $ABCD$
$AB = 4$
$AD = 3$
Диагонали $AC = BD = 5$

Найти:
а) длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$
б) длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$

Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ известны длины сторон и диагоналей.
$|\vec{AB}| = AB = 4$
$|\vec{AD}| = AD = 3$
$|\vec{AC}| = AC = 5$
$|\vec{BD}| = BD = 5$
Также, в прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны, что означает равенство векторов: $\vec{AD} = \vec{BC}$ и $\vec{AB} = \vec{DC}$.

а) Найдем длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD})$
Используя правило вычитания векторов, если начало векторов совпадает (например, в точке $A$), то $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Вектор $\vec{DB}$ направлен из точки $D$ в точку $B$.
Таким образом, нам нужно найти длину вектора $\frac{1}{2}\vec{DB}$.
Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. По условию, $BD = 5$.
Следовательно, длина искомого вектора:
$|\frac{1}{2}\vec{DB}| = \frac{1}{2}|\vec{DB}| = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$.
Ответ: $2.5$

б) Найдем длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$
Используя правило сложения векторов (правило треугольника), известно, что $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Из этого следует, что $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Вектор $\vec{BC}$ направлен из точки $B$ в точку $C$.
Таким образом, нам нужно найти длину вектора $\frac{1}{2}\vec{BC}$.
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$ прямоугольника. В прямоугольнике $BC = AD$.
По условию, $AD = 3$.
Следовательно, длина искомого вектора:
$|\frac{1}{2}\vec{BC}| = \frac{1}{2}|\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$.
Ответ: $1.5$

77. Для правильного шестиугольника ABCDEF найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$.

Дано: Правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Найти: Углы между следующими парами векторов:

Решение: Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ каждый внутренний угол равен $(6-2) \times 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними равен внутреннему углу шестиугольника $\angle FAB$. $\angle FAB = 120^\circ$. Ответ: $120^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ В правильном шестиугольнике сторона $EF$ параллельна стороне $CB$ и имеет то же направление. Это означает, что вектор $\vec{EF}$ коллинеарен вектору $\vec{CB}$ и сонаправлен с ним, то есть $\vec{EF} = \vec{CB}$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$. Для нахождения угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ перенесем их начала в одну точку, например, в точку $B$. Тогда мы будем рассматривать векторы $\vec{BA}$ (который является вектором $-\vec{AB}$) и $\vec{BC}$. Угол между этими векторами равен внутреннему углу шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$. Поскольку угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен углу между векторами $-\vec{u}$ и $-\vec{v}$, то угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ (т.е. между $-\vec{BA}$ и $-\vec{BC}$) также равен углу между $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ равен $120^\circ$. Ответ: $120^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ Этот случай был подробно разобран в пункте б), поскольку $\vec{EF} = \vec{CB}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ равен $120^\circ$. Ответ: $120^\circ$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ В правильном шестиугольнике сторона $DC$ параллельна стороне $AF$. Вектор $\vec{DC}$ направлен от $D$ к $C$, а вектор $\vec{AF}$ направлен от $A$ к $F$. Если шестиугольник ориентирован против часовой стрелки, то $\vec{DC}$ и $\vec{AF}$ направлены противоположно. То есть, $\vec{DC} = -\vec{AF}$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $-\vec{AF}$. Из пункта а) мы знаем, что угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ равен $120^\circ$. Если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\alpha$, то угол между $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ - \alpha$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $-\vec{AF}$ равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равен $60^\circ$. Ответ: $60^\circ$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ представляют собой диагонали шестиугольника. Диагональ $BE$ является главной диагональю, проходящей через центр шестиугольника. Она параллельна диагонали $AD$ и сонаправлена с ней. Следовательно, $\vec{BE} = \vec{AD}$. Задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$, то есть угла $\angle CAD$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Длины сторон: $CD = a$ (сторона шестиугольника). $AD = 2a$ (главная диагональ правильного шестиугольника). Длину диагонали $AC$ найдем из треугольника $ABC$. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC=a$) с углом $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 (-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Значит, $AC = a\sqrt{3}$. Теперь проверим треугольник $ACD$: $AC^2 + CD^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$. Так как $AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$, то $AC^2 + CD^2 = AD^2$. Это означает, что треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACD = 90^\circ$). В прямоугольном треугольнике $ACD$ найдем угол $\angle CAD$: $\cos(\angle CAD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AD} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\angle CAD = 30^\circ$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ равен $30^\circ$. Ответ: $30^\circ$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$ В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Вектор $\vec{DE}$ направлен от $D$ к $E$, а вектор $\vec{AB}$ направлен от $A$ к $B$. Они направлены противоположно, то есть $\vec{DE} = -\vec{AB}$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$. Сначала найдем угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$. Этот угол равен $\angle CAB$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $AB=BC=a$, а угол $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle CAB = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$. Итак, угол между $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ равен $30^\circ$. Теперь найдем угол между $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$. Если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\alpha$, то угол между $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ - \alpha$. Следовательно, угол между $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$ равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$ равен $150^\circ$. Ответ: $150^\circ$.

78. Для прямоугольника $ABCD$ со сторонами $AB = 8$, $AD = 6$ найдите скалярное произведение:

а) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;

г) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 8$ и $AD = 6$.

Перевод в систему СИ: В данной математической задаче о скалярном произведении векторов, конкретные единицы измерения не требуются. Если бы задача имела физический контекст, данные стороны могли бы быть представлены в метрах: $AB = 8$ м, $AD = 6$ м. Однако для вычисления скалярного произведения, численные значения остаются неизменными независимо от единиц измерения.

Найти:

Скалярные произведения: а) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$; б) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$; в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$; г) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Решение:

Расположим прямоугольник $ABCD$ в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0)$, сторона $AB$ лежала на оси $Ox$, а сторона $AD$ — на оси $Oy$.
Тогда координаты вершин будут:
$A = (0,0)$
$B = (AB, 0) = (8,0)$
$D = (0, AD) = (0,6)$
$C = (AB, AD) = (8,6)$

Определим координаты векторов, которые нам понадобятся, и их длины (модули):
$\vec{AB} = B - A = (8-0, 0-0) = (8,0)$. Длина $|\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$.
$\vec{AD} = D - A = (0-0, 6-0) = (0,6)$. Длина $|\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$.
$\vec{AC} = C - A = (8-0, 6-0) = (8,6)$. Длина $|\vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
$\vec{BC} = C - B = (8-8, 6-0) = (0,6)$. Длина $|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}=(x_1, y_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
Также скалярное произведение может быть найдено по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами.

а) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ являются смежными сторонами прямоугольника $ABCD$, исходящими из одной вершины. Следовательно, они перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.
Используем формулу через координаты: $\vec{AB} = (8,0)$, $\vec{AD} = (0,6)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (8)(0) + (0)(6) = 0 + 0 = 0$.
Используем формулу через угол: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

б) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
Используем формулу через координаты: $\vec{AB} = (8,0)$, $\vec{AC} = (8,6)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (8)(8) + (0)(6) = 64 + 0 = 64$.
Используем формулу через угол: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине $B$):
$\cos(\angle BAC) = \frac{прилежащий \ катет}{гипотенуза} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = 8 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 8 \cdot 2 \cdot 4 = 64$.
Ответ: $64$

в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ являются смежными сторонами прямоугольника. Сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ (так же, как и $AD$), так как $ABCD$ — прямоугольник. Угол между ними равен $90^\circ$.
Используем формулу через координаты: $\vec{AB} = (8,0)$, $\vec{BC} = (0,6)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (8)(0) + (0)(6) = 0 + 0 = 0$.
Используем формулу через угол: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

г) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$
Используем формулу через координаты: $\vec{AC} = (8,6)$, $\vec{BC} = (0,6)$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (8)(0) + (6)(6) = 0 + 36 = 36$.
Используем формулу через угол: Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ — это угол $\angle BCA$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине $B$):
$\cos(\angle BCA) = \frac{прилежащий \ катет}{гипотенуза} = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle BCA) = 10 \cdot 6 \cdot \frac{3}{5} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36$.
Ответ: $36$