Номер 74, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

74. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ равны соответственно 14 и 10 и пересекаются в точке $O$. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$;

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$;

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$.

Дано

Ромб $ABCD$.
Длины диагоналей: $AC = 14$, $BD = 10$.
Диагонали пересекаются в точке $O$.

Найти:

а) Длину вектора $\vec{AB} - \vec{AD}$
б) Длину вектора $\vec{AB} - \vec{BC}$
в) Длину вектора $2\vec{AB} - \vec{AC}$
г) Длину вектора $\vec{BC} - \vec{OC}$

Решение

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Точка $O$ является серединой обеих диагоналей. Таким образом, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ и $BO = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$
По правилу вычитания векторов с общим началом, $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. Следовательно, $|\vec{AB} - \vec{AD}| = |\vec{DB}| = BD = 10$.
Ответ: 10

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$
В ромбе (как и в любом параллелограмме) противоположные векторы равны, то есть $\vec{BC} = \vec{AD}$. Подставим это равенство в искомое выражение: $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{AD}$. Согласно пункту (а), эта разность равна вектору $\vec{DB}$. Следовательно, $|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{DB}| = BD = 10$.
Ответ: 10

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$
Используем правило сложения векторов для треугольника $ABC$: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Подставим это выражение для $\vec{AC}$ в данное: $2\vec{AB} - \vec{AC} = 2\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{BC}) = 2\vec{AB} - \vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{BC}$. Как показано в пункте (б), длина этого вектора равна 10. Таким образом, $|2\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{DB}| = 10$.
Ответ: 10

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$
Векторную разность можно представить как сумму: $\vec{BC} - \vec{OC} = \vec{BC} + (-\vec{OC})$. Вектор $-\vec{OC}$ противоположен вектору $\vec{OC}$ и равен вектору $\vec{CO}$. Таким образом, $\vec{BC} - \vec{OC} = \vec{BC} + \vec{CO}$. По правилу сложения векторов (правило треугольника), если конец первого вектора ($\vec{BC}$) совпадает с началом второго вектора ($\vec{CO}$), то их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, это вектор $\vec{BO}$. $|\vec{BC} - \vec{OC}| = |\vec{BO}|$. Длина отрезка $BO$ равна половине длины диагонали $BD$. $BO = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Следовательно, $|\vec{BC} - \vec{OC}| = 5$.
Ответ: 5