Номер 77, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

77. Для правильного шестиугольника ABCDEF найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$;

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$;

г) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$;

е) $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$.

Дано: Правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Найти: Углы между следующими парами векторов:

Решение: Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ каждый внутренний угол равен $(6-2) \times 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ имеют общее начало в точке $A$. Угол между ними равен внутреннему углу шестиугольника $\angle FAB$. $\angle FAB = 120^\circ$. Ответ: $120^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ В правильном шестиугольнике сторона $EF$ параллельна стороне $CB$ и имеет то же направление. Это означает, что вектор $\vec{EF}$ коллинеарен вектору $\vec{CB}$ и сонаправлен с ним, то есть $\vec{EF} = \vec{CB}$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$. Для нахождения угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ перенесем их начала в одну точку, например, в точку $B$. Тогда мы будем рассматривать векторы $\vec{BA}$ (который является вектором $-\vec{AB}$) и $\vec{BC}$. Угол между этими векторами равен внутреннему углу шестиугольника $\angle ABC = 120^\circ$. Поскольку угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен углу между векторами $-\vec{u}$ и $-\vec{v}$, то угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ (т.е. между $-\vec{BA}$ и $-\vec{BC}$) также равен углу между $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ равен $120^\circ$. Ответ: $120^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ Этот случай был подробно разобран в пункте б), поскольку $\vec{EF} = \vec{CB}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ равен $120^\circ$. Ответ: $120^\circ$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ В правильном шестиугольнике сторона $DC$ параллельна стороне $AF$. Вектор $\vec{DC}$ направлен от $D$ к $C$, а вектор $\vec{AF}$ направлен от $A$ к $F$. Если шестиугольник ориентирован против часовой стрелки, то $\vec{DC}$ и $\vec{AF}$ направлены противоположно. То есть, $\vec{DC} = -\vec{AF}$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AB}$ и $-\vec{AF}$. Из пункта а) мы знаем, что угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ равен $120^\circ$. Если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\alpha$, то угол между $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ - \alpha$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $-\vec{AF}$ равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равен $60^\circ$. Ответ: $60^\circ$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ представляют собой диагонали шестиугольника. Диагональ $BE$ является главной диагональю, проходящей через центр шестиугольника. Она параллельна диагонали $AD$ и сонаправлена с ней. Следовательно, $\vec{BE} = \vec{AD}$. Задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$, то есть угла $\angle CAD$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Длины сторон: $CD = a$ (сторона шестиугольника). $AD = 2a$ (главная диагональ правильного шестиугольника). Длину диагонали $AC$ найдем из треугольника $ABC$. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC=a$) с углом $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(120^\circ) = 2a^2 - 2a^2 (-1/2) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$. Значит, $AC = a\sqrt{3}$. Теперь проверим треугольник $ACD$: $AC^2 + CD^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2$. Так как $AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$, то $AC^2 + CD^2 = AD^2$. Это означает, что треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACD = 90^\circ$). В прямоугольном треугольнике $ACD$ найдем угол $\angle CAD$: $\cos(\angle CAD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AD} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\angle CAD = 30^\circ$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ равен $30^\circ$. Ответ: $30^\circ$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$ В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Вектор $\vec{DE}$ направлен от $D$ к $E$, а вектор $\vec{AB}$ направлен от $A$ к $B$. Они направлены противоположно, то есть $\vec{DE} = -\vec{AB}$. Таким образом, задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$. Сначала найдем угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$. Этот угол равен $\angle CAB$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, так как $AB=BC=a$, а угол $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle CAB = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$. Итак, угол между $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ равен $30^\circ$. Теперь найдем угол между $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$. Если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\alpha$, то угол между $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ - \alpha$. Следовательно, угол между $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$ равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$ равен $150^\circ$. Ответ: $150^\circ$.