Номер 71, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

71. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$, стороны которого равны 1, и точки $O$ пересечения его диагоналей найдите длины вектора:

а) $\vec{DE}$;

б) $\vec{OF}$;

в) $\vec{BE}$;

г) $\vec{FC}$.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Длина стороны $a = 1$.

Точка $O$ — центр шестиугольника (точка пересечения диагоналей).

Найти:

Длины векторов: $DE$, $OF$, $BE$, $FC$.

Решение:

Свойства правильного шестиугольника:

• Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников ($AOB$, $BOC$, $COD$, $DOE$, $EOF$, $FOA$), соединённых в центре $O$. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника.
• Таким образом, расстояние от центра $O$ до любой вершины шестиугольника равно его стороне: $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.
• Самая длинная диагональ правильного шестиугольника (например, $AD$ или $FC$) проходит через центр $O$ и равна удвоенной стороне шестиугольника: $AD = FC = 2a$.
• Короткие диагонали (например, $AC$, $BD$, $CE$, $DF$, $EA$, $FB$) можно найти, используя теорему косинусов в одном из равнобедренных треугольников, образованных сторонами и центром шестиугольника.

a) $\vec{DE}$

Вектор $\vec{DE}$ является стороной правильного шестиугольника.

Следовательно, его длина равна длине стороны шестиугольника.

$||\vec{DE}|| = a = 1$.

Ответ: $1$

б) $\vec{OF}$

Вектор $\vec{OF}$ соединяет центр правильного шестиугольника с одной из его вершин.

Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно длине его стороны.

Следовательно, $||\vec{OF}|| = a = 1$.

Ответ: $1$

в) $\vec{BE}$

Вектор $\vec{BE}$ является короткой диагональю правильного шестиугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $BOE$. Стороны $OB$ и $OE$ равны длине стороны шестиугольника, так как $O$ — центр, а $B$ и $E$ — вершины. То есть $OB = OE = a = 1$.

Угол $\angle BOE$ образован двумя радиусами, соответствующими двум сторонам шестиугольника ($BC$ и $CD$). Угол каждого из шести равносторонних треугольников при вершине $O$ равен $60^\circ$. Таким образом, $\angle BOC = \angle COD = 60^\circ$.

Угол $\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE$. Нет, $\angle BOE = \angle BOC + \angle COE$.Это не так. Вершины $B, C, D, E$ идут по порядку. Угол $\angle BOE$ - это угол между радиусами, идущими к вершинам $B$ и $E$. Между ними вершины $C$ и $D$.Таким образом, $\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE$ если $O$ не на одной линии.$\angle BOE$ это угол между $OB$ и $OE$. Между $B$ и $E$ находятся $C$ и $D$.$\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE$. Это неверно.$\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE$ это если $B,C,D,E$ это 4 точки, и $O$ центр.Проще: $O, B, C$ образуют равносторонний треугольник. $O, C, D$ образуют равносторонний треугольник. $O, D, E$ образуют равносторонний треугольник.Значит $\angle BOC = 60^\circ$, $\angle COD = 60^\circ$, $\angle DOE = 60^\circ$.Угол $\angle BOE$ охватывает две стороны: $CD$ и $DE$. То есть это $2 \times 60^\circ = 120^\circ$. (Например, $\angle BOE$ состоит из $\angle BOC + \angle COE$, но $\angle COE$ это $2 \times 60^\circ$.Правильно: $\angle BOE = \angle BOC + \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$?Нет, это для $B$ и $E$ которые противолежат. $B$ и $E$ не противолежащие. $BE$ пропускает $C$ и $D$.$B$ и $E$ - это вершины, разделенные одной вершиной. $B-C-D-E$. Вершина $D$ находится между $B$ и $E$ в смысле "промежуточной" вершины.Угол $BOE$ соответствует дуге $BCE$. Угол $\angle BCE = 120^\circ$. Нет, это не то.Угол между радиусами $OB$ и $OE$ равен $2 \times 60^\circ = 120^\circ$, так как между вершинами $B$ и $E$ находятся две вершины $C$ и $D$.Применим теорему косинусов к треугольнику $BOE$:

$||\vec{BE}||^2 = OB^2 + OE^2 - 2 \cdot OB \cdot OE \cdot \cos(\angle BOE)$

$||\vec{BE}||^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$||\vec{BE}||^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$||\vec{BE}||^2 = 2 + 1 = 3$

$||\vec{BE}|| = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

г) $\vec{FC}$

Вектор $\vec{FC}$ является самой длинной диагональю правильного шестиугольника. Он соединяет противоположные вершины $F$ и $C$.

Самая длинная диагональ правильного шестиугольника проходит через его центр $O$ и равна удвоенной длине стороны.

$||\vec{FC}|| = FO + OC$.

Поскольку $FO = OC = a = 1$ (расстояние от центра до вершины), то $||\vec{FC}|| = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$