Номер 75, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

75. Диагонали правильного шестиугольника $ABCDEF$, стороны которого равны 1, пересекаются в точке $O$. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AO} - \vec{CD}$

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Длина стороны $a = 1$.

Диагонали пересекаются в точке $O$.

Найти:

Длину вектора:

a) $|\vec{AO} - \vec{CD}|$

б) $|\vec{AE} - \vec{OE}|$

в) $|\vec{AO} - \vec{FE}|$

Решение:

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ с центром $O$ и длиной стороны $a=1$, расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны: $OA = OB = OC = OD = OE = OF = 1$.

Также, для правильного шестиугольника с центром $O$, справедливы следующие векторные равенства:

$\vec{AO} = \vec{BC}$

$\vec{BO} = \vec{CD}$

$\vec{CO} = \vec{DE}$

$\vec{DO} = \vec{EF}$

$\vec{EO} = \vec{FA}$

$\vec{FO} = \vec{AB}$

Кроме того, вектор из центра к вершине противоположен вектору из центра к противоположной вершине (например, $\vec{OA} = -\vec{OD}$).

a) $\vec{AO} - \vec{CD}$

Используем векторное равенство $\vec{CD} = \vec{BO}$:

$\vec{AO} - \vec{CD} = \vec{AO} - \vec{BO}$

Вектор $\vec{BO}$ противоположен вектору $\vec{OB}$, то есть $\vec{BO} = -\vec{OB}$. Следовательно, $-\vec{BO} = \vec{OB}$.

Тогда выражение принимает вид:

$\vec{AO} - \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OB}$

По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$.

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны шестиугольника, которая по условию равна $1$.

$|\vec{AO} - \vec{CD}| = |\vec{AB}| = 1$.

Ответ: $1$

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

Вектор $\vec{AE}$ можно представить как разность радиус-векторов конечной и начальной точек относительно центра $O$: $\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\vec{AE} - \vec{OE} = (\vec{OE} - \vec{OA}) - \vec{OE}$

Раскроем скобки и упростим:

$\vec{OE} - \vec{OA} - \vec{OE} = -\vec{OA}$

Длина вектора $-\vec{OA}$ равна длине вектора $\vec{OA}$, который является радиус-вектором от центра до вершины. Его длина равна длине стороны шестиугольника, то есть $1$.

$|\vec{AE} - \vec{OE}| = |-\vec{OA}| = |\vec{OA}| = 1$.

Ответ: $1$

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Используем одно из специфических векторных равенств для правильного шестиугольника: $\vec{AO} = \vec{FE}$. Это равенство означает, что вектор из вершины $A$ к центру $O$ совпадает с вектором, образующим сторону $FE$ (они параллельны, имеют одинаковую длину и направление).

Подставим $\vec{FE} = \vec{AO}$ в выражение:

$\vec{AO} - \vec{FE} = \vec{AO} - \vec{AO}$

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору $\vec{0}$.

Длина нулевого вектора равна $0$.

$|\vec{AO} - \vec{FE}| = |\vec{0}| = 0$.

Ответ: $0$