Номер 78, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

78. Для прямоугольника $ABCD$ со сторонами $AB = 8$, $AD = 6$ найдите скалярное произведение:

а) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;

г) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 8$ и $AD = 6$.

Перевод в систему СИ: В данной математической задаче о скалярном произведении векторов, конкретные единицы измерения не требуются. Если бы задача имела физический контекст, данные стороны могли бы быть представлены в метрах: $AB = 8$ м, $AD = 6$ м. Однако для вычисления скалярного произведения, численные значения остаются неизменными независимо от единиц измерения.

Найти:

Скалярные произведения: а) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$; б) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$; в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$; г) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Решение:

Расположим прямоугольник $ABCD$ в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0)$, сторона $AB$ лежала на оси $Ox$, а сторона $AD$ — на оси $Oy$.
Тогда координаты вершин будут:
$A = (0,0)$
$B = (AB, 0) = (8,0)$
$D = (0, AD) = (0,6)$
$C = (AB, AD) = (8,6)$

Определим координаты векторов, которые нам понадобятся, и их длины (модули):
$\vec{AB} = B - A = (8-0, 0-0) = (8,0)$. Длина $|\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$.
$\vec{AD} = D - A = (0-0, 6-0) = (0,6)$. Длина $|\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$.
$\vec{AC} = C - A = (8-0, 6-0) = (8,6)$. Длина $|\vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
$\vec{BC} = C - B = (8-8, 6-0) = (0,6)$. Длина $|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}=(x_1, y_1)$ и $\vec{b}=(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
Также скалярное произведение может быть найдено по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами.

а) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ являются смежными сторонами прямоугольника $ABCD$, исходящими из одной вершины. Следовательно, они перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.
Используем формулу через координаты: $\vec{AB} = (8,0)$, $\vec{AD} = (0,6)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (8)(0) + (0)(6) = 0 + 0 = 0$.
Используем формулу через угол: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

б) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
Используем формулу через координаты: $\vec{AB} = (8,0)$, $\vec{AC} = (8,6)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (8)(8) + (0)(6) = 64 + 0 = 64$.
Используем формулу через угол: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине $B$):
$\cos(\angle BAC) = \frac{прилежащий \ катет}{гипотенуза} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = 8 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} = 8 \cdot 2 \cdot 4 = 64$.
Ответ: $64$

в) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ являются смежными сторонами прямоугольника. Сторона $AB$ перпендикулярна стороне $BC$ (так же, как и $AD$), так как $ABCD$ — прямоугольник. Угол между ними равен $90^\circ$.
Используем формулу через координаты: $\vec{AB} = (8,0)$, $\vec{BC} = (0,6)$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (8)(0) + (0)(6) = 0 + 0 = 0$.
Используем формулу через угол: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: $0$

г) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$
Используем формулу через координаты: $\vec{AC} = (8,6)$, $\vec{BC} = (0,6)$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (8)(0) + (6)(6) = 0 + 36 = 36$.
Используем формулу через угол: Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ — это угол $\angle BCA$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине $B$):
$\cos(\angle BCA) = \frac{прилежащий \ катет}{гипотенуза} = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle BCA) = 10 \cdot 6 \cdot \frac{3}{5} = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36$.
Ответ: $36$