Номер 73, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

73. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 4$, $BC = 3$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и равны 5. Найдите модуль суммы векторов:

а) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

$AB = 4$.

$BC = 3$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

$AC = BD = 5$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны. Все величины даны в одной системе.

Найти:

а) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника и правилами сложения векторов.

В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB=4$ и $BC=3$. По теореме Пифагора длина диагоналей $AC = BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке $O$, которая является их серединой. Это означает, что отрезки $AO, OC, BO, OD$ равны по длине: $|\vec{AO}| = |\vec{OC}| = |\vec{BO}| = |\vec{OD}| = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{2} = 2.5$.

Важные векторные равенства, исходящие из свойства середины:
Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ направлены вдоль диагонали $AC$ от $A$ к $O$ и от $O$ к $C$ соответственно. Они имеют одинаковое направление и равны по модулю, поэтому $\vec{AO} = \vec{OC}$.
Аналогично, векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ направлены вдоль диагонали $BD$ от $B$ к $O$ и от $O$ к $D$ соответственно. Они имеют одинаковое направление и равны по модулю, поэтому $\vec{BO} = \vec{OD}$.

а) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$

По правилу параллелограмма сложения векторов, если два вектора $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ исходят из одной вершины прямоугольника и являются его смежными сторонами, то их сумма равна вектору диагонали, исходящему из той же вершины.

Следовательно, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

Модуль этой суммы равен длине диагонали $AC$.

$|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}| = 5$.

Ответ: $5$

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$

Мы установили, что $\vec{BO} = \vec{OD}$ (вектор от $B$ к $O$ равен вектору от $O$ к $D$).

Подставим $\vec{OD}$ вместо $\vec{BO}$ в выражение:

$|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AO} + \vec{OD}|$.

По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AO} + \vec{OD}$ представляет собой вектор, идущий от начальной точки первого вектора к конечной точке второго вектора, то есть $\vec{AD}$.

Модуль суммы равен длине стороны $AD$. В прямоугольнике $ABCD$, $AD = BC = 3$.

$|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}| = 3$.

Ответ: $3$

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$

Мы установили, что $\vec{OC} = \vec{AO}$ (вектор от $O$ к $C$ равен вектору от $A$ к $O$).

Подставим $\vec{AO}$ вместо $\vec{OC}$ в выражение:

$|\vec{OB} + \vec{OC}| = |\vec{OB} + \vec{AO}|$.

Переставим слагаемые для удобства применения правила треугольника: $|\vec{AO} + \vec{OB}|$.

По правилу треугольника сложения векторов, $\vec{AO} + \vec{OB}$ представляет собой вектор $\vec{AB}$.

Модуль суммы равен длине стороны $AB$.

$|\vec{OB} + \vec{OC}| = |\vec{AB}| = 4$.

Ответ: $4$

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$

Выразим векторы диагоналей через векторы сторон прямоугольника. Используем правило треугольника:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

$\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор $\vec{CD}$ направлен противоположно вектору $\vec{AB}$, но их длины равны. Следовательно, $\vec{CD} = -\vec{AB}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BD}$:

$\vec{BD} = \vec{BC} + (-\vec{AB}) = \vec{BC} - \vec{AB}$.

Теперь сложим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{BC} - \vec{AB})$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные векторы:

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{BC} - \vec{AB}$.

$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} - \vec{AB}) + (\vec{BC} + \vec{BC})$.

$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{0} + 2\vec{BC}$.

$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{BC}$.

Модуль полученного вектора равен:

$|\vec{AC} + \vec{BD}| = |2\vec{BC}| = 2|\vec{BC}|$.

Так как $|\vec{BC}| = 3$, то:

$|\vec{AC} + \vec{BD}| = 2 \times 3 = 6$.

Ответ: $6$