Номер 76, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

76. В прямоугольнике $ABCD$ $AB=4$, $AD=3$, диагонали $AC$ и $BD$ равны 5. Найдите длину вектора:

а) $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$;

б) $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Дано:
Прямоугольник $ABCD$
$AB = 4$
$AD = 3$
Диагонали $AC = BD = 5$

Найти:
а) длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$
б) длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$

Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ известны длины сторон и диагоналей.
$|\vec{AB}| = AB = 4$
$|\vec{AD}| = AD = 3$
$|\vec{AC}| = AC = 5$
$|\vec{BD}| = BD = 5$
Также, в прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны, что означает равенство векторов: $\vec{AD} = \vec{BC}$ и $\vec{AB} = \vec{DC}$.

а) Найдем длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD})$
Используя правило вычитания векторов, если начало векторов совпадает (например, в точке $A$), то $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Вектор $\vec{DB}$ направлен из точки $D$ в точку $B$.
Таким образом, нам нужно найти длину вектора $\frac{1}{2}\vec{DB}$.
Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. По условию, $BD = 5$.
Следовательно, длина искомого вектора:
$|\frac{1}{2}\vec{DB}| = \frac{1}{2}|\vec{DB}| = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$.
Ответ: $2.5$

б) Найдем длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$
Используя правило сложения векторов (правило треугольника), известно, что $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Из этого следует, что $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$. Вектор $\vec{BC}$ направлен из точки $B$ в точку $C$.
Таким образом, нам нужно найти длину вектора $\frac{1}{2}\vec{BC}$.
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$ прямоугольника. В прямоугольнике $BC = AD$.
По условию, $AD = 3$.
Следовательно, длина искомого вектора:
$|\frac{1}{2}\vec{BC}| = \frac{1}{2}|\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$.
Ответ: $1.5$