Номер 72, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

72. В параллелограмме ABCD укажите векторы:

а) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$;

б) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$;

в) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DC}$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Найти:

Указать векторы, являющиеся результатом следующих сумм:

a) $\vec{AB} + \vec{AD}$

б) $\vec{AC} + \vec{CD}$

в) $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$

Решение:

В параллелограмме $ABCD$ действуют следующие правила для векторов:

• Правило параллелограмма: Сумма двух векторов, исходящих из одной вершины параллелограмма, равна вектору, представляющему собой диагональ, исходящую из этой же вершины. Например, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

• Правило треугольника: Если конец одного вектора является началом другого вектора, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. Например, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

• Свойства сторон параллелограмма: Противоположные стороны параллельны и равны по длине, что означает равенство соответствующих векторов при одинаковом направлении: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$. Вектор, идущий в противоположном направлении, равен отрицательному вектору: $\vec{CB} = -\vec{BC}$.

a)

Для суммы $\vec{AB} + \vec{AD}$ применим правило параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ начинаются в общей вершине $A$. Их сумма будет равна вектору, представляющему диагональ параллелограмма, исходящую из этой же вершины $A$. Эта диагональ - $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$

б)

Для суммы $\vec{AC} + \vec{CD}$ используем правило треугольника. Вектор $\vec{AC}$ заканчивается в точке $C$, и вектор $\vec{CD}$ начинается в точке $C$. Следовательно, их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора ($A$) к концу второго вектора ($D$).

$\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}$

Ответ: $\vec{AD}$

в)

Для суммы $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$ можно использовать несколько подходов.

Способ 1 (Перегруппировка и правило треугольника):
Перегруппируем слагаемые в выражении $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$ для удобства применения правила треугольника:

$\vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}$

Сначала сложим первые два вектора $\vec{AD} + \vec{DC}$. По правилу треугольника, это будет вектор $\vec{AC}$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$\vec{AC} + \vec{CB}$

Теперь снова применим правило треугольника к сумме $\vec{AC} + \vec{CB}$. Вектор $\vec{AC}$ заканчивается в точке $C$, и вектор $\vec{CB}$ начинается в точке $C$. Их сумма - это вектор, идущий от начала первого вектора ($A$) к концу второго вектора ($B$).

$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Способ 2 (Замена векторов на равные):
Используем свойства параллелограмма: $\vec{DC} = \vec{AB}$ (противоположные стороны, одинаковое направление) и $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Также, $\vec{BC} = \vec{AD}$ (противоположные стороны, одинаковое направление).
Тогда $\vec{CB} = -\vec{AD}$.

Подставим эти эквивалентные векторы в исходное выражение:

$\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) + \vec{AB}$

Сумма вектора и его противоположного равна нулевому вектору: $\vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{0}$.

Таким образом, выражение становится:

$\vec{0} + \vec{AB} = \vec{AB}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\vec{AB}$