Страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали прямоугольника.

Дано:

Меньшая сторона прямоугольника $a = 5$ см. Угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 5$ см $= 0.05$ м. $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.

Найти:

Диагонали прямоугольника $d$.

Решение:

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Диагонали прямоугольника $AC$ и $BD$ равны по длине и в точке пересечения $O$ делятся пополам. То есть, если длина диагонали равна $d$, то $AC = BD = d$, и $AO = OC = BO = OD = \frac{d}{2}$.

Рассмотрим четыре треугольника, образованные половинами диагоналей и сторонами прямоугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$. Все эти треугольники равнобедренные, так как их стороны, образованные половинами диагоналей, равны ($AO=BO=CO=DO=\frac{d}{2}$).

Угол между диагоналями дан как $60^\circ$. Это может быть либо острый угол ($\angle AOB$ или $\angle COD$), либо тупой угол ($\angle BOC$ или $\angle DOA$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$, например, $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая для угла $60^\circ$:

1. Пусть угол $60^\circ$ - это острый угол между диагоналями, то есть $\angle AOB = 60^\circ$. Этот угол находится напротив стороны $AB$. Поскольку $\triangle AOB$ является равнобедренным ($AO = BO = \frac{d}{2}$) и имеет угол при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним треугольником.

Следовательно, сторона $AB$ равна половинам диагоналей: $AB = AO = BO = \frac{d}{2}$.

Если $AB$ - меньшая сторона прямоугольника, то $AB = 5$ см по условию задачи.

Тогда получаем уравнение: $5 = \frac{d}{2}$, откуда $d = 10$ см.

В этом случае, угол $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Сторона $BC$ (другая сторона прямоугольника) находится напротив угла $120^\circ$. Используем теорему косинусов для $\triangle BOC$:

$BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)$

$BC^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

$BC^2 = 2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$BC^2 = 2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 3 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2$

$BC = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}$.

Подставляя $d = 10$ см, получаем $BC = \sqrt{3} \cdot \frac{10}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Поскольку $5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66$ см, то $BC > AB$ ($8.66$ см $> 5$ см), что согласуется с условием, что $AB$ является меньшей стороной. Этот случай является корректным.

2. Пусть угол $60^\circ$ - это тупой угол между диагоналями, то есть $\angle BOC = 60^\circ$. Этот угол находится напротив стороны $BC$. Поскольку $\triangle BOC$ является равнобедренным ($BO = CO = \frac{d}{2}$) и имеет угол при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним.

Следовательно, сторона $BC$ равна половинам диагоналей: $BC = BO = CO = \frac{d}{2}$.

В этом случае, $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Меньшая сторона $AB$ находится напротив угла $120^\circ$. Используем теорему косинусов для $\triangle AOB$:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \cos(120^\circ) = 3 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2$.

Следовательно, $AB = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}$.

По условию меньшая сторона $AB = 5$ см. Тогда $5 = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}$, откуда $d = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Для этого случая другая сторона $BC = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Сравниваем стороны: $AB = 5$ см, $BC = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.887$ см. Здесь $AB > BC$, что противоречит условию, что $AB$ является меньшей стороной. Таким образом, этот случай не соответствует условию задачи.

Следовательно, верным является первый случай, когда угол $60^\circ$ расположен напротив меньшей стороны прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны $10$ см.

Ответ:

10 см.

39. Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см.

Дано:

Периметр прямоугольника $P_{пр} = 34 \, \text{см}$.

Периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник $P_{тр} = 30 \, \text{см}$.

Перевод в СИ:

$P_{пр} = 34 \, \text{см} = 0.34 \, \text{м}$.

$P_{тр} = 30 \, \text{см} = 0.30 \, \text{м}$.

Найти:

Длину диагоналей прямоугольника $d$.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P_{пр}$ определяется как удвоенная сумма его сторон:

$P_{пр} = 2(a+b)$

Подставим известное значение периметра прямоугольника:

$34 = 2(a+b)$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти сумму сторон $a$ и $b$:

$a+b = \frac{34}{2}$

$a+b = 17 \, \text{см}$

Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Сторонами такого треугольника являются две стороны прямоугольника ($a$ и $b$) и сама диагональ ($d$), которая является гипотенузой этого треугольника.

Периметр треугольника $P_{тр}$ определяется как сумма длин его сторон:

$P_{тр} = a+b+d$

Нам известен периметр треугольника ($P_{тр} = 30 \, \text{см}$) и сумма сторон $a+b$ ($17 \, \text{см}$). Подставим эти значения в формулу периметра треугольника:

$30 = (a+b)+d$

$30 = 17+d$

Теперь найдем длину диагонали $d$:

$d = 30 - 17$

$d = 13 \, \text{см}$

По свойству прямоугольника, его диагонали равны. Следовательно, обе диагонали прямоугольника равны $13 \, \text{см}$.

Ответ:

Диагонали прямоугольника равны $13 \, \text{см}$.

40. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма с неравными соседними сторонами при пересечении образуют прямоугольник.

Дано:

параллелограмм $ABCD$ с неравными соседними сторонами ($AB \neq BC$).

Биссектрисы углов $A, B, C, D$ пересекаются, образуя четырехугольник.

Найти:

Доказать, что четырехугольник, образованный биссектрисами, является прямоугольником.

Решение:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Известно, что сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle C = 180^\circ$, $\angle C + \angle D = 180^\circ$, $\angle D + \angle A = 180^\circ$.

Рассмотрим биссектрисы углов $A$ и $B$. Пусть они пересекаются в точке $F$. В треугольнике $ABF$ углы $\angle FAB$ и $\angle FBA$ являются половинками углов $A$ и $B$ соответственно: $\angle FAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle FBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Сумма углов треугольника $ABF$ равна $180^\circ$. Следовательно, угол $\angle AFB$ можно найти как:

$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA)$

$\angle AFB = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B)$

$\angle AFB = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$

Поскольку $\angle A + \angle B = 180^\circ$, подставим это значение:

$\angle AFB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, биссектрисы любых двух смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Пусть биссектрисы углов $A, B, C, D$ пересекаются и образуют внутри параллелограмма четырехугольник $EFGH$. Обозначим точки пересечения следующим образом:

• $F$ – точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ (т.е. $F$ – вершина $P$ из предыдущих рассуждений)

• $G$ – точка пересечения биссектрис углов $B$ и $C$

• $H$ – точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$

• $E$ – точка пересечения биссектрис углов $D$ и $A$ (или $A$ и $D$)

Каждая вершина четырехугольника $EFGH$ является точкой пересечения биссектрис двух смежных углов параллелограмма. Угол, образованный этими биссектрисами, равен $90^\circ$. Углы четырехугольника $EFGH$ при его вершинах являются либо непосредственно этими углами, либо вертикально противоположными им.

• Угол $\angle EFG$ четырехугольника $EFGH$ равен $\angle AFB = 90^\circ$ (как показано выше).

• Аналогично, угол $\angle FGH$ равен углу, образованному биссектрисами $\angle B$ и $\angle C$, то есть $\angle FGH = \angle BGC = 90^\circ$.

• Угол $\angle GHE$ равен углу, образованному биссектрисами $\angle C$ и $\angle D$, то есть $\angle GHE = \angle CHD = 90^\circ$.

• Угол $\angle HEF$ равен углу, образованному биссектрисами $\angle D$ и $\angle A$, то есть $\angle HEF = \angle DEA = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла четырехугольника $EFGH$ равны $90^\circ$, по определению этот четырехугольник является прямоугольником.

Условие "с неравными соседними сторонами" гарантирует, что параллелограмм не является ромбом (и, следовательно, не является квадратом). В случае ромба (или квадрата) биссектрисы углов совпадают с диагоналями, и все они пересекаются в одной точке, не образуя четырехугольника. Таким образом, это условие подтверждает, что формируется полноценный четырехугольник, а не точка.

Ответ: Доказано.

41. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Точки $P$, $Q$, $R$, $S$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $PQRS$ является ромбом.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $P$ является серединой стороны $AB$, а точка $Q$ — серединой стороны $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$. Отсюда следует, что $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Точка $R$ является серединой стороны $CD$, а точка $S$ — серединой стороны $DA$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $RS$ является средней линией треугольника $ADC$. Отсюда следует, что $RS \parallel AC$ и $RS = \frac{1}{2}AC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $PQ = RS$ и $PQ \parallel RS$. Поскольку у четырехугольника $PQRS$ две противоположные стороны равны и параллельны, то $PQRS$ является параллелограммом.

4. Рассмотрим треугольник $ABD$. Точка $S$ является серединой стороны $DA$, а точка $P$ — серединой стороны $AB$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $SP$ является средней линией треугольника $ABD$. Отсюда следует, что $SP \parallel BD$ и $SP = \frac{1}{2}BD$.

5. Рассмотрим треугольник $BCD$. Точка $Q$ является серединой стороны $BC$, а точка $R$ — серединой стороны $CD$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $QR$ является средней линией треугольника $BCD$. Отсюда следует, что $QR \parallel BD$ и $QR = \frac{1}{2}BD$.

6. Известно, что диагонали прямоугольника равны. Следовательно, $AC = BD$.

7. Используя равенства из пунктов 1, 4 и 6 ($PQ = \frac{1}{2}AC$ и $SP = \frac{1}{2}BD$, а также $AC = BD$), получаем, что $PQ = SP$.

8. Мы доказали, что $PQRS$ является параллелограммом (пункт 3), и что две его смежные стороны ($PQ$ и $SP$) равны (пункт 7). Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, $PQRS$ — ромб.

Ответ: Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба, так как образованный ими четырехугольник является параллелограммом с равными смежными сторонами (длина каждой стороны равна половине длины диагонали исходного прямоугольника).

42. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $40^{\circ}$?

Дано:

Равнобедренная трапеция.

Разность противолежащих углов равна $40^\circ$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в градусах, что является стандартной единицей измерения углов в геометрии, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Углы трапеции.

Решение:

Пусть в равнобедренной трапеции углы при одном основании равны $\alpha$, а углы при другом основании равны $\beta$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, то есть у трапеции есть две пары равных углов.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем записать первое уравнение: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Известно, что разность противолежащих углов равна $40^\circ$. В равнобедренной трапеции противолежащие углы не равны (если только трапеция не является прямоугольником, в этом случае все углы равны $90^\circ$, а их разность была бы $0^\circ$). Один из углов будет острым, а другой тупым. Предположим, что $\beta$ - тупой угол, а $\alpha$ - острый. Тогда разность противолежащих углов будет $\beta - \alpha = 40^\circ$.

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений: $1) \alpha + \beta = 180^\circ$ $2) \beta - \alpha = 40^\circ$

Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить $\alpha$: $(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 40^\circ$ $2\beta = 220^\circ$ $\beta = \frac{220^\circ}{2}$ $\beta = 110^\circ$

Теперь подставим значение $\beta$ в первое уравнение, чтобы найти $\alpha$: $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$ $\alpha = 180^\circ - 110^\circ$ $\alpha = 70^\circ$

Итак, углы равнобедренной трапеции равны $70^\circ$ и $110^\circ$. Углы при одном основании равны $70^\circ$, а углы при другом основании - $110^\circ$.

Ответ:

Углы равнобедренной трапеции равны $70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ$.

43. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 3 см, отсекает треугольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD.

Меньшее основание $BC = 3$ см.

Прямая CE проведена через вершину C параллельно боковой стороне AB, E лежит на AD.

Периметр отсеченного треугольника CDE: $P_{\triangle CDE} = 15$ см.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является допустимой единицей для измерения длин в геометрических задачах. Перевод в метры не требуется для решения данной задачи.

Найти:

Периметр трапеции ABCD ($P_{трапеции}$).

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где AD – большее основание, BC – меньшее основание. По условию, длина меньшего основания $BC = 3$ см.

Проведем через вершину C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, где точка E лежит на основании AD.

Таким образом, четырехугольник ABCE является параллелограммом, поскольку $AB \parallel CE$ (по построению) и $BC \parallel AE$ (так как BC параллельно AD, а AE является частью AD).

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $AB = CE$ и $AE = BC$. Так как $BC = 3$ см, то $AE = 3$ см.

Отрезок CE отсекает треугольник CDE. Периметр этого треугольника по условию равен $15$ см.

Периметр треугольника CDE выражается как сумма длин его сторон:

$P_{\triangle CDE} = CD + DE + CE$

Мы установили, что $CE = AB$. Подставим это в формулу периметра треугольника:

$P_{\triangle CDE} = CD + DE + AB = 15$ см.

Теперь рассмотрим периметр трапеции ABCD. Периметр трапеции – это сумма длин всех ее сторон:

$P_{трапеции} = AB + BC + CD + AD$

Основание AD можно представить как сумму двух отрезков: $AD = AE + ED$.

Так как $AE = BC = 3$ см (из свойств параллелограмма ABCE), то $AD = BC + ED = 3 + ED$ см.

Подставим это выражение для AD в формулу периметра трапеции:

$P_{трапеции} = AB + BC + CD + (BC + ED)$

Перегруппируем слагаемые:

$P_{трапеции} = (AB + CD + ED) + 2 \times BC$

Обратим внимание, что выражение в скобках $(AB + CD + ED)$ – это в точности периметр треугольника CDE, который по условию равен $15$ см:

$P_{\triangle CDE} = AB + CD + DE = 15$ см.

Следовательно, формула для периметра трапеции упрощается:

$P_{трапеции} = P_{\triangle CDE} + 2 \times BC$

Подставим известные числовые значения:

$P_{трапеции} = 15 \text{ см} + 2 \times 3 \text{ см}$

$P_{трапеции} = 15 \text{ см} + 6 \text{ см}$

$P_{трапеции} = 21 \text{ см}.$

Ответ: $21$ см.

44. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из ее диагоналей.

Дано:

основания трапеции $a = 4$ см, $b = 10$ см

Перевод в СИ:

$a = 4 \cdot 10^{-2}$ м

$b = 10 \cdot 10^{-2}$ м $= 0.1$ м

Найти:

отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию трапеции

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD, где BC = 4 см и AD = 10 см. Пусть MN - средняя линия трапеции, где M - середина стороны AB, а N - середина стороны CD.

Проведем диагональ AC. Пусть K - точка пересечения диагонали AC и средней линии MN.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как MN - средняя линия трапеции, то точка M - середина стороны AB. Отрезок MK является частью средней линии трапеции и, следовательно, параллелен основанию BC. Отсюда следует, что MK является средней линией треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом, $MK = \frac{1}{2} BC$.

Подставим значение BC:

$MK = \frac{1}{2} \cdot 4$ см $= 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Так как MN - средняя линия трапеции, то точка N - середина стороны CD. Отрезок KN является частью средней линии трапеции и, следовательно, параллелен основанию AD. Отсюда следует, что KN является средней линией треугольника ACD.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом, $KN = \frac{1}{2} AD$.

Подставим значение AD:

$KN = \frac{1}{2} \cdot 10$ см $= 5$ см.

Средняя линия трапеции делится диагональю на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ:

2 см и 5 см