Номер 43, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

43. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 3 см, отсекает треугольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.

Дано:

Трапеция ABCD.

Меньшее основание $BC = 3$ см.

Прямая CE проведена через вершину C параллельно боковой стороне AB, E лежит на AD.

Периметр отсеченного треугольника CDE: $P_{\triangle CDE} = 15$ см.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является допустимой единицей для измерения длин в геометрических задачах. Перевод в метры не требуется для решения данной задачи.

Найти:

Периметр трапеции ABCD ($P_{трапеции}$).

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где AD – большее основание, BC – меньшее основание. По условию, длина меньшего основания $BC = 3$ см.

Проведем через вершину C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, где точка E лежит на основании AD.

Таким образом, четырехугольник ABCE является параллелограммом, поскольку $AB \parallel CE$ (по построению) и $BC \parallel AE$ (так как BC параллельно AD, а AE является частью AD).

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $AB = CE$ и $AE = BC$. Так как $BC = 3$ см, то $AE = 3$ см.

Отрезок CE отсекает треугольник CDE. Периметр этого треугольника по условию равен $15$ см.

Периметр треугольника CDE выражается как сумма длин его сторон:

$P_{\triangle CDE} = CD + DE + CE$

Мы установили, что $CE = AB$. Подставим это в формулу периметра треугольника:

$P_{\triangle CDE} = CD + DE + AB = 15$ см.

Теперь рассмотрим периметр трапеции ABCD. Периметр трапеции – это сумма длин всех ее сторон:

$P_{трапеции} = AB + BC + CD + AD$

Основание AD можно представить как сумму двух отрезков: $AD = AE + ED$.

Так как $AE = BC = 3$ см (из свойств параллелограмма ABCE), то $AD = BC + ED = 3 + ED$ см.

Подставим это выражение для AD в формулу периметра трапеции:

$P_{трапеции} = AB + BC + CD + (BC + ED)$

Перегруппируем слагаемые:

$P_{трапеции} = (AB + CD + ED) + 2 \times BC$

Обратим внимание, что выражение в скобках $(AB + CD + ED)$ – это в точности периметр треугольника CDE, который по условию равен $15$ см:

$P_{\triangle CDE} = AB + CD + DE = 15$ см.

Следовательно, формула для периметра трапеции упрощается:

$P_{трапеции} = P_{\triangle CDE} + 2 \times BC$

Подставим известные числовые значения:

$P_{трапеции} = 15 \text{ см} + 2 \times 3 \text{ см}$

$P_{трапеции} = 15 \text{ см} + 6 \text{ см}$

$P_{трапеции} = 21 \text{ см}.$

Ответ: $21$ см.