Номер 41, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Точки $P$, $Q$, $R$, $S$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $PQRS$ является ромбом.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $P$ является серединой стороны $AB$, а точка $Q$ — серединой стороны $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$. Отсюда следует, что $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$. Точка $R$ является серединой стороны $CD$, а точка $S$ — серединой стороны $DA$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $RS$ является средней линией треугольника $ADC$. Отсюда следует, что $RS \parallel AC$ и $RS = \frac{1}{2}AC$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $PQ = RS$ и $PQ \parallel RS$. Поскольку у четырехугольника $PQRS$ две противоположные стороны равны и параллельны, то $PQRS$ является параллелограммом.

4. Рассмотрим треугольник $ABD$. Точка $S$ является серединой стороны $DA$, а точка $P$ — серединой стороны $AB$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $SP$ является средней линией треугольника $ABD$. Отсюда следует, что $SP \parallel BD$ и $SP = \frac{1}{2}BD$.

5. Рассмотрим треугольник $BCD$. Точка $Q$ является серединой стороны $BC$, а точка $R$ — серединой стороны $CD$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $QR$ является средней линией треугольника $BCD$. Отсюда следует, что $QR \parallel BD$ и $QR = \frac{1}{2}BD$.

6. Известно, что диагонали прямоугольника равны. Следовательно, $AC = BD$.

7. Используя равенства из пунктов 1, 4 и 6 ($PQ = \frac{1}{2}AC$ и $SP = \frac{1}{2}BD$, а также $AC = BD$), получаем, что $PQ = SP$.

8. Мы доказали, что $PQRS$ является параллелограммом (пункт 3), и что две его смежные стороны ($PQ$ и $SP$) равны (пункт 7). Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, $PQRS$ — ромб.

Ответ: Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба, так как образованный ими четырехугольник является параллелограммом с равными смежными сторонами (длина каждой стороны равна половине длины диагонали исходного прямоугольника).