Номер 42, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

42. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $40^{\circ}$?

Дано:

Равнобедренная трапеция.

Разность противолежащих углов равна $40^\circ$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в градусах, что является стандартной единицей измерения углов в геометрии, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Углы трапеции.

Решение:

Пусть в равнобедренной трапеции углы при одном основании равны $\alpha$, а углы при другом основании равны $\beta$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, то есть у трапеции есть две пары равных углов.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, мы можем записать первое уравнение: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Известно, что разность противолежащих углов равна $40^\circ$. В равнобедренной трапеции противолежащие углы не равны (если только трапеция не является прямоугольником, в этом случае все углы равны $90^\circ$, а их разность была бы $0^\circ$). Один из углов будет острым, а другой тупым. Предположим, что $\beta$ - тупой угол, а $\alpha$ - острый. Тогда разность противолежащих углов будет $\beta - \alpha = 40^\circ$.

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений: $1) \alpha + \beta = 180^\circ$ $2) \beta - \alpha = 40^\circ$

Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить $\alpha$: $(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 40^\circ$ $2\beta = 220^\circ$ $\beta = \frac{220^\circ}{2}$ $\beta = 110^\circ$

Теперь подставим значение $\beta$ в первое уравнение, чтобы найти $\alpha$: $\alpha + 110^\circ = 180^\circ$ $\alpha = 180^\circ - 110^\circ$ $\alpha = 70^\circ$

Итак, углы равнобедренной трапеции равны $70^\circ$ и $110^\circ$. Углы при одном основании равны $70^\circ$, а углы при другом основании - $110^\circ$.

Ответ:

Углы равнобедренной трапеции равны $70^\circ, 70^\circ, 110^\circ, 110^\circ$.