Номер 45, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) основание равно 6, боковые стороны равны 5. Найдите значения тригонометрических функций угла $A$.

Дано

Равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AC = BC = 5$ и основание $AB = 6$.

Перевод данных в СИ:

В данной задаче величины являются безразмерными длинами, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Значения тригонометрических функций угла $A$: $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$, $\cot A$.

Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит основание $AB$ пополам.

Таким образом, $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$ (угол $H$ прямой, т.е. $90^\circ$).

По теореме Пифагора для треугольника $AHC$ имеем:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

Подставим известные значения:

$5^2 = 3^2 + CH^2$

$25 = 9 + CH^2$

Отсюда найдем высоту $CH$:

$CH^2 = 25 - 9$

$CH^2 = 16$

$CH = \sqrt{16} = 4$.

Теперь, зная длины всех сторон прямоугольного треугольника $AHC$ ($AH = 3$, $CH = 4$, $AC = 5$), мы можем найти значения тригонометрических функций угла $A$:

Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC} = \frac{4}{5}$.

Косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} = \frac{3}{5}$.

Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CH}{AH} = \frac{4}{3}$.

Котангенс угла $A$ равен отношению прилежащего катета к противолежащему:

$\cot A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{AH}{CH} = \frac{3}{4}$.

Ответ:

$\sin A = \frac{4}{5}$, $\cos A = \frac{3}{5}$, $\tan A = \frac{4}{3}$, $\cot A = \frac{3}{4}$.