Номер 38, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите диагонали прямоугольника.

Дано:

Меньшая сторона прямоугольника $a = 5$ см. Угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 5$ см $= 0.05$ м. $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.

Найти:

Диагонали прямоугольника $d$.

Решение:

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Диагонали прямоугольника $AC$ и $BD$ равны по длине и в точке пересечения $O$ делятся пополам. То есть, если длина диагонали равна $d$, то $AC = BD = d$, и $AO = OC = BO = OD = \frac{d}{2}$.

Рассмотрим четыре треугольника, образованные половинами диагоналей и сторонами прямоугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$. Все эти треугольники равнобедренные, так как их стороны, образованные половинами диагоналей, равны ($AO=BO=CO=DO=\frac{d}{2}$).

Угол между диагоналями дан как $60^\circ$. Это может быть либо острый угол ($\angle AOB$ или $\angle COD$), либо тупой угол ($\angle BOC$ или $\angle DOA$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$, например, $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая для угла $60^\circ$:

1. Пусть угол $60^\circ$ - это острый угол между диагоналями, то есть $\angle AOB = 60^\circ$. Этот угол находится напротив стороны $AB$. Поскольку $\triangle AOB$ является равнобедренным ($AO = BO = \frac{d}{2}$) и имеет угол при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним треугольником.

Следовательно, сторона $AB$ равна половинам диагоналей: $AB = AO = BO = \frac{d}{2}$.

Если $AB$ - меньшая сторона прямоугольника, то $AB = 5$ см по условию задачи.

Тогда получаем уравнение: $5 = \frac{d}{2}$, откуда $d = 10$ см.

В этом случае, угол $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Сторона $BC$ (другая сторона прямоугольника) находится напротив угла $120^\circ$. Используем теорему косинусов для $\triangle BOC$:

$BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)$

$BC^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

$BC^2 = 2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$BC^2 = 2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 3 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2$

$BC = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}$.

Подставляя $d = 10$ см, получаем $BC = \sqrt{3} \cdot \frac{10}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Поскольку $5\sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66$ см, то $BC > AB$ ($8.66$ см $> 5$ см), что согласуется с условием, что $AB$ является меньшей стороной. Этот случай является корректным.

2. Пусть угол $60^\circ$ - это тупой угол между диагоналями, то есть $\angle BOC = 60^\circ$. Этот угол находится напротив стороны $BC$. Поскольку $\triangle BOC$ является равнобедренным ($BO = CO = \frac{d}{2}$) и имеет угол при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним.

Следовательно, сторона $BC$ равна половинам диагоналей: $BC = BO = CO = \frac{d}{2}$.

В этом случае, $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Меньшая сторона $AB$ находится напротив угла $120^\circ$. Используем теорему косинусов для $\triangle AOB$:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \cos(120^\circ) = 3 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2$.

Следовательно, $AB = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}$.

По условию меньшая сторона $AB = 5$ см. Тогда $5 = \sqrt{3} \cdot \frac{d}{2}$, откуда $d = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Для этого случая другая сторона $BC = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Сравниваем стороны: $AB = 5$ см, $BC = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.887$ см. Здесь $AB > BC$, что противоречит условию, что $AB$ является меньшей стороной. Таким образом, этот случай не соответствует условию задачи.

Следовательно, верным является первый случай, когда угол $60^\circ$ расположен напротив меньшей стороны прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны $10$ см.

Ответ:

10 см.