Номер 40, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма с неравными соседними сторонами при пересечении образуют прямоугольник.

Дано:

параллелограмм $ABCD$ с неравными соседними сторонами ($AB \neq BC$).

Биссектрисы углов $A, B, C, D$ пересекаются, образуя четырехугольник.

Найти:

Доказать, что четырехугольник, образованный биссектрисами, является прямоугольником.

Решение:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Известно, что сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$. То есть, $\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle C = 180^\circ$, $\angle C + \angle D = 180^\circ$, $\angle D + \angle A = 180^\circ$.

Рассмотрим биссектрисы углов $A$ и $B$. Пусть они пересекаются в точке $F$. В треугольнике $ABF$ углы $\angle FAB$ и $\angle FBA$ являются половинками углов $A$ и $B$ соответственно: $\angle FAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle FBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Сумма углов треугольника $ABF$ равна $180^\circ$. Следовательно, угол $\angle AFB$ можно найти как:

$\angle AFB = 180^\circ - (\angle FAB + \angle FBA)$

$\angle AFB = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B)$

$\angle AFB = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$

Поскольку $\angle A + \angle B = 180^\circ$, подставим это значение:

$\angle AFB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, биссектрисы любых двух смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Пусть биссектрисы углов $A, B, C, D$ пересекаются и образуют внутри параллелограмма четырехугольник $EFGH$. Обозначим точки пересечения следующим образом:

• $F$ – точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ (т.е. $F$ – вершина $P$ из предыдущих рассуждений)

• $G$ – точка пересечения биссектрис углов $B$ и $C$

• $H$ – точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$

• $E$ – точка пересечения биссектрис углов $D$ и $A$ (или $A$ и $D$)

Каждая вершина четырехугольника $EFGH$ является точкой пересечения биссектрис двух смежных углов параллелограмма. Угол, образованный этими биссектрисами, равен $90^\circ$. Углы четырехугольника $EFGH$ при его вершинах являются либо непосредственно этими углами, либо вертикально противоположными им.

• Угол $\angle EFG$ четырехугольника $EFGH$ равен $\angle AFB = 90^\circ$ (как показано выше).

• Аналогично, угол $\angle FGH$ равен углу, образованному биссектрисами $\angle B$ и $\angle C$, то есть $\angle FGH = \angle BGC = 90^\circ$.

• Угол $\angle GHE$ равен углу, образованному биссектрисами $\angle C$ и $\angle D$, то есть $\angle GHE = \angle CHD = 90^\circ$.

• Угол $\angle HEF$ равен углу, образованному биссектрисами $\angle D$ и $\angle A$, то есть $\angle HEF = \angle DEA = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла четырехугольника $EFGH$ равны $90^\circ$, по определению этот четырехугольник является прямоугольником.

Условие "с неравными соседними сторонами" гарантирует, что параллелограмм не является ромбом (и, следовательно, не является квадратом). В случае ромба (или квадрата) биссектрисы углов совпадают с диагоналями, и все они пересекаются в одной точке, не образуя четырехугольника. Таким образом, это условие подтверждает, что формируется полноценный четырехугольник, а не точка.

Ответ: Доказано.