Номер 37, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен 50°. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Дано

Пусть дан прямоугольник $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Острый угол между диагоналями $\angle AOB = 50^\circ$.

Найти:

Углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Решение

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = BO = CO = DO$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Так как $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным.

3. По условию, острый угол между диагоналями $\angle AOB = 50^\circ$.

4. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

5. Используем свойство суммы углов в треугольнике:

$2 \cdot \angle OAB + \angle AOB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle OAB + 50^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle OAB = 130^\circ$

$\angle OAB = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$

Таким образом, один из углов, образуемых диагональю со стороной (например, диагональю $AC$ со стороной $AB$), равен $65^\circ$. То есть, $\angle BAC = 65^\circ$ и $\angle ABD = 65^\circ$.

6. В прямоугольнике все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Рассмотрим угол $\angle DAB = 90^\circ$.

7. Угол $\angle CAD$ является дополнением угла $\angle BAC$ до $90^\circ$.

$\angle CAD = \angle DAB - \angle BAC$

$\angle CAD = 90^\circ - 65^\circ$

$\angle CAD = 25^\circ$

Таким образом, второй угол, образуемый диагональю со стороной (например, диагональю $AC$ со стороной $AD$), равен $25^\circ$.

8. Из-за симметрии прямоугольника, другие углы, образованные диагоналями со сторонами, будут равны $25^\circ$ или $65^\circ$. Например, $\angle ACD = \angle BAC = 65^\circ$ (как накрест лежащие при параллельных $AB$ и $CD$ и секущей $AC$) и $\angle ACB = \angle CAD = 25^\circ$ (как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).

Ответ:

Углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника, равны $25^\circ$ и $65^\circ$.