Страница 10 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $25^{\circ}$ и $35^{\circ}$. Найдите углы параллелограмма.

Дано:

Углы, образуемые диагональю параллелограмма с двумя его сторонами: $25^\circ$ и $35^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, и $AC$ – его диагональ. Диагональ $AC$ образует со сторонами $AB$ и $AD$ углы $25^\circ$ и $35^\circ$ соответственно. Следует отметить, что эти два угла являются частями одного угла параллелограмма.

Тогда один из углов параллелограмма, а именно $\angle BAD$, равен сумме этих двух углов:

$\angle BAD = 25^\circ + 35^\circ = 60^\circ$.

В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому:

$\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ$.

Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. Следовательно, другие два угла параллелограмма равны:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

И так как противолежащие углы равны:

$\angle ADC = \angle ABC = 120^\circ$.

Ответ:

Углы параллелограмма равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

34. Найдите углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

а) $80^\circ$;

б) $100^\circ$;

в) $160^\circ$.

а) 80°

Дано:

Сумма двух углов параллелограмма: $S = 80^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме сумма соседних (смежных) углов равна $180^\circ$. Поскольку заданная сумма $80^\circ$ меньше $180^\circ$, она не может быть суммой смежных углов. Следовательно, $80^\circ$ является суммой двух противоположных углов.

В параллелограмме противоположные углы равны. Пусть один из углов равен $\alpha$. Тогда противоположный ему угол также равен $\alpha$.

Их сумма: $2\alpha = 80^\circ$.

Найдем величину этого угла:

$\alpha = \frac{80^\circ}{2}$

$\alpha = 40^\circ$

Сумма двух смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$. Пусть второй угол параллелограмма (смежный к $\alpha$) равен $\beta$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

$40^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 40^\circ$

$\beta = 140^\circ$

Таким образом, углы параллелограмма составляют $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 140^\circ, 40^\circ, 140^\circ$.

б) 100°

Дано:

Сумма двух углов параллелограмма: $S = 100^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма.

Решение:

По аналогии с пунктом а), заданная сумма $100^\circ$ меньше $180^\circ$, поэтому она является суммой двух противоположных углов.

Пусть один из углов равен $\alpha$. Тогда $2\alpha = 100^\circ$.

Найдем величину этого угла:

$\alpha = \frac{100^\circ}{2}$

$\alpha = 50^\circ$

Найдем смежный угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

$\beta = 180^\circ - 50^\circ$

$\beta = 130^\circ$

Таким образом, углы параллелограмма составляют $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.

в) 160°

Дано:

Сумма двух углов параллелограмма: $S = 160^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма.

Решение:

По аналогии с предыдущими пунктами, заданная сумма $160^\circ$ меньше $180^\circ$, поэтому она является суммой двух противоположных углов.

Пусть один из углов равен $\alpha$. Тогда $2\alpha = 160^\circ$.

Найдем величину этого угла:

$\alpha = \frac{160^\circ}{2}$

$\alpha = 80^\circ$

Найдем смежный угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

$\beta = 180^\circ - 80^\circ$

$\beta = 100^\circ$

Таким образом, углы параллелограмма составляют $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

35. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если:

а) одна сторона на 2 см больше другой;

б) разность двух сторон равна 6 см;

в) одна из сторон в два раза больше другой.

Дано:

периметр параллелограмма $p = 48$ см

Перевод в СИ:

все величины уже в сантиметрах, что является допустимой единицей для данной геометрической задачи.

Найти:

стороны параллелограмма $a$ и $b$ в каждом из случаев.

Решение:

периметр параллелограмма $p$ вычисляется по формуле $p = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.

известно, что $p = 48$ см.

следовательно, $2(a+b) = 48$ см, или полупериметр $a+b = 48 / 2 = 24$ см.

а) одна сторона на 2 см больше другой

пусть одна сторона параллелограмма будет $a$ см, тогда другая сторона $b$ будет $b = a + 2$ см.

используем равенство для полупериметра:

$a + b = 24$

подставим выражение для $b$:

$a + (a + 2) = 24$

$2a + 2 = 24$

$2a = 24 - 2$

$2a = 22$

$a = 22 / 2$

$a = 11$ см

теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = a + 2 = 11 + 2 = 13$ см

Ответ: стороны параллелограмма равны $11$ см и $13$ см.

б) разность двух сторон равна 6 см

пусть стороны параллелограмма будут $a$ и $b$.

у нас есть два уравнения:

$a + b = 24$ (полупериметр)

$a - b = 6$ (разность сторон, предположим $a > b$)

сложим эти два уравнения:

$(a + b) + (a - b) = 24 + 6$

$2a = 30$

$a = 30 / 2$

$a = 15$ см

теперь подставим значение $a$ в первое уравнение ($a + b = 24$):

$15 + b = 24$

$b = 24 - 15$

$b = 9$ см

Ответ: стороны параллелограмма равны $15$ см и $9$ см.

в) одна из сторон в два раза больше другой

пусть одна сторона параллелограмма будет $a$ см, тогда другая сторона $b$ будет $b = 2a$ см.

используем равенство для полупериметра:

$a + b = 24$

подставим выражение для $b$:

$a + 2a = 24$

$3a = 24$

$a = 24 / 3$

$a = 8$ см

теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 2a = 2 \times 8 = 16$ см

Ответ: стороны параллелограмма равны $8$ см и $16$ см.

двух сторон равна 8 см, 2) одна из сторон в два раза больше другой.

36. Две стороны параллелограмма относятся как $3 : 4$, а периметр его равен $2,8$ м. Найдите стороны параллелограмма.

Дано:

отношение сторон параллелограмма $a : b = 3 : 4$

периметр параллелограмма $P = 2.8$ м

Перевод в СИ:

все величины уже даны в системе СИ.

Найти:

стороны параллелограмма $a$, $b$

Решение:

пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$.

по условию задачи, отношение сторон $a$ к $b$ составляет $3 : 4$. это можно записать как:

$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$

или $a = 3x$ и $b = 4x$, где $x$ — это коэффициент пропорциональности.

формула периметра параллелограмма равна удвоенной сумме его смежных сторон:

$P = 2(a + b)$

подставим известные значения в формулу периметра:

$2.8 = 2(3x + 4x)$

выполним сложение в скобках:

$2.8 = 2(7x)$

раскроем скобки:

$2.8 = 14x$

чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на $14$:

$x = \frac{2.8}{14}$

$x = 0.2$ м

теперь, зная $x$, мы можем найти длины сторон параллелограмма:

сторона $a = 3x = 3 \cdot 0.2 = 0.6$ м

сторона $b = 4x = 4 \cdot 0.2 = 0.8$ м

Ответ:

стороны параллелограмма равны $0.6$ м и $0.8$ м.

37. В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен 50°. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Дано

Пусть дан прямоугольник $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Острый угол между диагоналями $\angle AOB = 50^\circ$.

Найти:

Углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Решение

1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = BO = CO = DO$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Так как $AO = BO$, этот треугольник является равнобедренным.

3. По условию, острый угол между диагоналями $\angle AOB = 50^\circ$.

4. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

5. Используем свойство суммы углов в треугольнике:

$2 \cdot \angle OAB + \angle AOB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle OAB + 50^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle OAB = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle OAB = 130^\circ$

$\angle OAB = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$

Таким образом, один из углов, образуемых диагональю со стороной (например, диагональю $AC$ со стороной $AB$), равен $65^\circ$. То есть, $\angle BAC = 65^\circ$ и $\angle ABD = 65^\circ$.

6. В прямоугольнике все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Рассмотрим угол $\angle DAB = 90^\circ$.

7. Угол $\angle CAD$ является дополнением угла $\angle BAC$ до $90^\circ$.

$\angle CAD = \angle DAB - \angle BAC$

$\angle CAD = 90^\circ - 65^\circ$

$\angle CAD = 25^\circ$

Таким образом, второй угол, образуемый диагональю со стороной (например, диагональю $AC$ со стороной $AD$), равен $25^\circ$.

8. Из-за симметрии прямоугольника, другие углы, образованные диагоналями со сторонами, будут равны $25^\circ$ или $65^\circ$. Например, $\angle ACD = \angle BAC = 65^\circ$ (как накрест лежащие при параллельных $AB$ и $CD$ и секущей $AC$) и $\angle ACB = \angle CAD = 25^\circ$ (как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).

Ответ:

Углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника, равны $25^\circ$ и $65^\circ$.