Страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите пять прямых так, чтобы у них было десять точек попарных пересечений.

1.Дано:

количество прямых: $n=5$
требуемое количество точек попарных пересечений: $P=10$

Найти:

способ изображения пяти прямых, дающих десять точек попарных пересечений.

Решение:

максимальное количество точек попарных пересечений для $n$ прямых, ни одна пара из которых не параллельна и никакие три из которых не пересекаются в одной точке, определяется формулой для сочетаний из $n$ по $2$: $P_{max} = C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}$.

для пяти прямых ($n=5$), максимальное количество точек пересечений составляет: $P_{max} = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

таким образом, чтобы получить ровно десять точек попарных пересечений, необходимо выполнить два условия:
1. все пять прямых должны пересекаться друг с другом. это означает, что никакие две прямые не должны быть параллельны.
2. никакие три (или более) прямые не должны пересекаться в одной и той же точке. каждая точка пересечения должна быть уникальной для пары прямых.

для того чтобы изобразить такие прямые, можно последовательно рисовать их, убеждаясь в соблюдении этих условий:
1. нарисуйте первую прямую $L_1$.
2. нарисуйте вторую прямую $L_2$, пересекающую $L_1$ в одной точке.
3. нарисуйте третью прямую $L_3$, пересекающую $L_1$ и $L_2$ в двух новых, отдельных точках (то есть $L_3$ не должна проходить через точку пересечения $L_1$ и $L_2$).
4. нарисуйте четвертую прямую $L_4$, пересекающую $L_1$, $L_2$ и $L_3$ в трех новых, отдельных точках (то есть $L_4$ не должна проходить ни через одну из ранее образованных точек пересечения).
5. нарисуйте пятую прямую $L_5$, пересекающую $L_1$, $L_2$, $L_3$ и $L_4$ в четырех новых, отдельных точках (то есть $L_5$ не должна проходить ни через одну из ранее образованных точек пересечения).

таким образом, каждая новая прямая будет добавлять $k-1$ новых точек пересечения, где $k$ - номер добавляемой прямой.
первая прямая: $0$ точек.
вторая прямая: $1$ точка.
третья прямая: $2$ точки.
четвертая прямая: $3$ точки.
пятая прямая: $4$ точки.
общее количество точек: $0+1+2+3+4 = 10$.

Ответ:

чтобы получить десять точек попарных пересечений от пяти прямых, необходимо расположить их таким образом, чтобы никакие две прямые не были параллельны, и никакие три прямые не пересекались в одной точке.

2. На прямой отмечены:
а) 3 точки;
б) 4 точки;
в) 5 точек;
г)* $n$ точек.

Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Дано: на прямой отмечены точки.

Найти: количество отрезков с концами в этих точках для каждого случая.

Решение:

Для того чтобы образовать отрезок, необходимо выбрать две различные точки из числа отмеченных на прямой. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB тот же, что и отрезок BA). Таким образом, задача сводится к нахождению числа сочетаний из $n$ элементов по 2, которое определяется формулой: $C(n, 2) = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

а) 3 точки

Если на прямой отмечены 3 точки, то количество отрезков равно:

$C(3, 2) = \frac{3 \times (3-1)}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$.

Ответ: 3

б) 4 точки

Если на прямой отмечены 4 точки, то количество отрезков равно:

$C(4, 2) = \frac{4 \times (4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 6

в) 5 точек

Если на прямой отмечены 5 точек, то количество отрезков равно:

$C(5, 2) = \frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10

г) n точек

Если на прямой отмечены $n$ точек, то количество отрезков равно:

$C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$

3. На прямой последовательно отложены три отрезка: $AB$, $BC$ и $CD$ так, что $AB = 3 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $CD = 4 \text{ см}$. Найдите расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$.

Дано

отрезки $AB$, $BC$, $CD$ последовательно отложены на прямой.

$AB = 3$ см

$BC = 5$ см

$CD = 4$ см

Перевод в СИ

$AB = 0.03$ м

$BC = 0.05$ м

$CD = 0.04$ м

Найти:

Расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$.

Решение

Пусть $M_{AB}$ - середина отрезка $AB$, а $M_{CD}$ - середина отрезка $CD$.

Длина отрезка $AM_{AB}$ (от $A$ до середины $AB$) равна половине длины $AB$:

$AM_{AB} = \frac{AB}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5 \text{ см}$.

Длина отрезка $CM_{CD}$ (от $C$ до середины $CD$) равна половине длины $CD$:

$CM_{CD} = \frac{CD}{2} = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$.

Поскольку отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ отложены последовательно на одной прямой, расстояние между серединами отрезков $AB$ и $CD$ ($M_{AB}$ и $M_{CD}$) будет равно сумме отрезков $M_{AB}B$, $BC$ и $CM_{CD}$.

Расстояние от $M_{AB}$ до $B$ равно $M_{AB}B = \frac{AB}{2} = 1.5 \text{ см}$.

Расстояние между $B$ и $C$ равно $BC = 5 \text{ см}$.

Расстояние от $C$ до $M_{CD}$ равно $CM_{CD} = \frac{CD}{2} = 2 \text{ см}$.

Искомое расстояние $M_{AB}M_{CD}$ вычисляется как:

$M_{AB}M_{CD} = M_{AB}B + BC + CM_{CD}$

$M_{AB}M_{CD} = \frac{AB}{2} + BC + \frac{CD}{2}$

$M_{AB}M_{CD} = 1.5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 2 \text{ см}$

$M_{AB}M_{CD} = 8.5 \text{ см}$.

Ответ:

8.5 см.

4. На сколько частей разбивают плоскость $n$ прямых, пересекающихся в одной точке?

Дано

Количество прямых: $n$. Все прямые пересекаются в одной точке.

Найти

Количество частей, на которые $n$ прямых разбивают плоскость.

Решение

Рассмотрим, как меняется количество частей плоскости в зависимости от числа прямых, пересекающихся в одной точке.

1. Если $n=0$ (нет прямых), плоскость не разделена, она составляет одну часть.

2. Если $n=1$ (одна прямая), эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Таким образом, имеется 2 части.

3. Если $n=2$ (две прямые, пересекающиеся в одной точке), они образуют четыре угла. Каждому углу соответствует одна часть плоскости. Следовательно, плоскость делится на 4 части.

4. Если $n=3$ (три прямые, пересекающиеся в одной точке), они образуют шесть углов. Каждому углу соответствует одна часть плоскости. Следовательно, плоскость делится на 6 частей.

Общая закономерность состоит в следующем: каждая из $n$ прямых, проходящих через одну точку, состоит из двух лучей, исходящих из этой точки в противоположных направлениях. Таким образом, всего из точки пересечения исходят $2n$ лучей. Эти $2n$ лучей делят плоскость на $2n$ секторов (углов). Каждый такой сектор является отдельной частью плоскости. Таким образом, количество частей плоскости равно удвоенному числу прямых.

Ответ:

$2n$

5. Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 306°. Найдите больший из них.

Дано:

Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна $306^\circ$.

Перевод в СИ:

Углы в градусах являются стандартной единицей для измерения углов в геометрии, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Больший из этих углов.

Решение:

Пусть две прямые пересекаются, образуя четыре угла. Обозначим две пары вертикальных углов как $\alpha$ и $\beta$. Тогда четыре образованных угла будут: $\alpha$, $\beta$, $\alpha$, $\beta$.

Известно, что смежные углы, образованные при пересечении прямых, в сумме дают $180^\circ$. Таким образом, $\alpha$ и $\beta$ являются смежными углами, и их сумма равна:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

В задаче сказано, что сумма трех из этих углов равна $306^\circ$. Поскольку у нас есть только два различных значения углов ($\alpha$ и $\beta$), три угла могут быть выбраны одним из двух способов:

1. Два угла равны $\alpha$, и один угол равен $\beta$. Сумма будет $2\alpha + \beta$.

2. Один угол равен $\alpha$, и два угла равны $\beta$. Сумма будет $\alpha + 2\beta$.

Рассмотрим первый случай:

$2\alpha + \beta = 306^\circ$

Из уравнения смежных углов выразим $\beta$: $\beta = 180^\circ - \alpha$. Подставим это выражение в уравнение суммы трех углов:

$2\alpha + (180^\circ - \alpha) = 306^\circ$

Упростим уравнение:

$\alpha + 180^\circ = 306^\circ$

Найдем значение $\alpha$:

$\alpha = 306^\circ - 180^\circ$

$\alpha = 126^\circ$

Теперь найдем значение $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$

В этом случае, углы, образованные при пересечении прямых, равны $126^\circ$ и $54^\circ$. Три угла, сумма которых равна $306^\circ$, это $126^\circ + 126^\circ + 54^\circ = 306^\circ$.

Рассмотрим второй случай:

$\alpha + 2\beta = 306^\circ$

Из уравнения смежных углов выразим $\alpha$: $\alpha = 180^\circ - \beta$. Подставим это выражение в уравнение суммы трех углов:

$(180^\circ - \beta) + 2\beta = 306^\circ$

Упростим уравнение:

$180^\circ + \beta = 306^\circ$

Найдем значение $\beta$:

$\beta = 306^\circ - 180^\circ$

$\beta = 126^\circ$

Теперь найдем значение $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$

В этом случае, углы, образованные при пересечении прямых, также равны $54^\circ$ и $126^\circ$. Три угла, сумма которых равна $306^\circ$, это $54^\circ + 126^\circ + 126^\circ = 306^\circ$.

Оба случая дают один и тот же набор углов: $126^\circ$ и $54^\circ$. Углы, образованные при пересечении двух прямых, составляют $126^\circ, 54^\circ, 126^\circ, 54^\circ$.

Среди этих углов больший угол равен $126^\circ$.

Ответ:

Больший из углов равен $126^\circ$.

6. Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, равного $120^\circ$. Найдите угол $AOC$, если он на $30^\circ$ меньше угла $BOC$.

Дано:

Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$.

$\angle AOB = 120^\circ$

$\angle AOC = \angle BOC - 30^\circ$

Перевод всех данных в систему СИ: Не требуется, так как углы заданы в градусах, что является стандартной единицей измерения углов в геометрии для данной задачи и не требует конвертации в радианы для решения.

Найти:

$\angle AOC$

Решение:

Поскольку луч $OC$ лежит внутри угла $AOB$, угол $AOB$ равен сумме углов $AOC$ и $BOC$.

Математически это можно записать как:

$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$

Подставим известное значение $\angle AOB = 120^\circ$ в это уравнение:

$120^\circ = \angle AOC + \angle BOC$

Также нам дано соотношение между углами $AOC$ и $BOC$:

$\angle AOC = \angle BOC - 30^\circ$

Теперь подставим выражение для $\angle AOC$ из второго уравнения в первое:

$120^\circ = (\angle BOC - 30^\circ) + \angle BOC$

Упростим уравнение:

$120^\circ = 2 \cdot \angle BOC - 30^\circ$

Перенесем $30^\circ$ на левую сторону уравнения, изменив знак:

$120^\circ + 30^\circ = 2 \cdot \angle BOC$

$150^\circ = 2 \cdot \angle BOC$

Разделим обе стороны на 2, чтобы найти значение $\angle BOC$:

$\angle BOC = \frac{150^\circ}{2}$

$\angle BOC = 75^\circ$

Теперь, когда мы знаем $\angle BOC$, мы можем найти $\angle AOC$, используя данное соотношение $\angle AOC = \angle BOC - 30^\circ$:

$\angle AOC = 75^\circ - 30^\circ$

$\angle AOC = 45^\circ$

Проверим полученные значения: $\angle AOC + \angle BOC = 45^\circ + 75^\circ = 120^\circ$, что соответствует заданному $\angle AOB$. Также $45^\circ = 75^\circ - 30^\circ$, что соответствует второму условию задачи. Расчеты верны.

Ответ:

$\angle AOC = 45^\circ$

7. Найдите градусные величины двух смежных углов, если один из них в два раза больше другого.

8.

Дано:

Углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ - смежные.

$\alpha_1 = 2\alpha_2$

Найти:

$\alpha_1, \alpha_2$

Решение:

По определению, сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать уравнение:

$\alpha_1 + \alpha_2 = 180^\circ$

Нам дано, что один угол в два раза больше другого. Пусть $\alpha_1 = 2\alpha_2$.

Подставим это выражение для $\alpha_1$ в первое уравнение:

$2\alpha_2 + \alpha_2 = 180^\circ$

Сложим подобные члены:

$3\alpha_2 = 180^\circ$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $\alpha_2$:

$\alpha_2 = \frac{180^\circ}{3}$

$\alpha_2 = 60^\circ$

Теперь, зная значение $\alpha_2$, найдем $\alpha_1$:

$\alpha_1 = 2 \times 60^\circ$

$\alpha_1 = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$ и $60^\circ$

8. Общей частью двух углов $AOB$ и $COD$, величиной $60^\circ$ и $90^\circ$ соответственно, является угол $BOC$, величиной $30^\circ$. Найдите угол $AOD$.

Дано:

$m\angle AOB = 60^\circ$
$m\angle COD = 90^\circ$
$m\angle BOC = 30^\circ$ (общая часть углов $AOB$ и $COD$)

Найти:

$m\angle AOD$

Решение:

Поскольку угол $BOC$ является общей частью углов $AOB$ и $COD$, это означает, что лучи $OA$, $OC$, $OB$, $OD$ расположены последовательно вокруг вершины $O$. Иными словами, луч $OC$ находится между лучами $OA$ и $OB$ (образуя $AOB = AOC + COB$), а луч $OB$ находится между лучами $OC$ и $OD$ (образуя $COD = COB + BOD$).

Из того, что луч $OC$ находится внутри угла $AOB$, следует равенство: $m\angle AOB = m\angle AOC + m\angle BOC$ Подставим известные значения: $60^\circ = m\angle AOC + 30^\circ$

Найдем величину угла $AOC$: $m\angle AOC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

Аналогично, из того, что луч $OB$ находится внутри угла $COD$, следует равенство: $m\angle COD = m\angle BOC + m\angle BOD$ Подставим известные значения: $90^\circ = 30^\circ + m\angle BOD$

Найдем величину угла $BOD$: $m\angle BOD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Для нахождения угла $AOD$, зная последовательность лучей ($OA, OC, OB, OD$), мы можем сложить величины составляющих его углов: $m\angle AOD = m\angle AOC + m\angle BOC + m\angle BOD$ Подставим найденные значения: $m\angle AOD = 30^\circ + 30^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

Ответ:

$120^\circ$

9. Колесо имеет:

а) 10 спиц;

б) 12 спиц.

Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Дано

a) количество спиц $N_a = 10$

б) количество спиц $N_b = 12$

Найти:

a) величину угла $\alpha_a$ (в градусах), который образуют две соседние спицы.

б) величину угла $\alpha_b$ (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Решение

Колесо представляет собой окружность, полная величина которой составляет $360^{\circ}$. Если спицы расположены равномерно, то они делят окружность на равные сектора. Величина угла между двумя соседними спицами находится делением полной окружности на общее количество спиц.

a) 10 спиц

Для колеса, имеющего $N_a = 10$ спиц, величина угла $\alpha_a$ между соседними спицами будет вычислена следующим образом:

$\alpha_a = \frac{360^{\circ}}{N_a}$

$\alpha_a = \frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}$

Ответ: $36^{\circ}$

б) 12 спиц

Для колеса, имеющего $N_b = 12$ спиц, величина угла $\alpha_b$ между соседними спицами будет вычислена аналогично:

$\alpha_b = \frac{360^{\circ}}{N_b}$

$\alpha_b = \frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$

Ответ: $30^{\circ}$

(в градусах), который образуют две соседние спицы.

10. На сколько градусов повернется минутная стрелка за:

а) 20 мин;

б) 10 мин;

в) 50 мин?

Дано

Полный оборот минутной стрелки: $\alpha_{full} = 360^\circ$

Время полного оборота минутной стрелки: $T = 60 \text{ мин}$

Перевод в СИ:

В данной задаче величины времени и угла не требуют перевода в систему СИ, так как угловая скорость будет выражена в градусах в минуту, что соответствует запрошенным единицам ответа.

Найти:

• a) Угол поворота $\alpha_a$ за время $t_a = 20 \text{ мин}$

• б) Угол поворота $\alpha_б$ за время $t_б = 10 \text{ мин}$

• в) Угол поворота $\alpha_в$ за время $t_в = 50 \text{ мин}$

Решение

Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут. Таким образом, угловая скорость ($\omega$) минутной стрелки может быть найдена по формуле:

$\omega = \frac{\alpha_{full}}{T}$

Подставим значения:

$\omega = \frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6^\circ/\text{мин}$

Теперь вычислим угол поворота для каждого заданного промежутка времени:

a) 20 мин

Угол поворота $\alpha_a$ за $t_a = 20 \text{ мин}$:

$\alpha_a = \omega \times t_a$

$\alpha_a = 6^\circ/\text{мин} \times 20 \text{ мин} = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$

б) 10 мин

Угол поворота $\alpha_б$ за $t_б = 10 \text{ мин}$:

$\alpha_б = \omega \times t_б$

$\alpha_б = 6^\circ/\text{мин} \times 10 \text{ мин} = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

в) 50 мин

Угол поворота $\alpha_в$ за $t_в = 50 \text{ мин}$:

$\alpha_в = \omega \times t_в$

$\alpha_в = 6^\circ/\text{мин} \times 50 \text{ мин} = 300^\circ$

Ответ: $300^\circ$