Номер 1, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите пять прямых так, чтобы у них было десять точек попарных пересечений.

1.Дано:

количество прямых: $n=5$
требуемое количество точек попарных пересечений: $P=10$

Найти:

способ изображения пяти прямых, дающих десять точек попарных пересечений.

Решение:

максимальное количество точек попарных пересечений для $n$ прямых, ни одна пара из которых не параллельна и никакие три из которых не пересекаются в одной точке, определяется формулой для сочетаний из $n$ по $2$: $P_{max} = C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}$.

для пяти прямых ($n=5$), максимальное количество точек пересечений составляет: $P_{max} = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

таким образом, чтобы получить ровно десять точек попарных пересечений, необходимо выполнить два условия:
1. все пять прямых должны пересекаться друг с другом. это означает, что никакие две прямые не должны быть параллельны.
2. никакие три (или более) прямые не должны пересекаться в одной и той же точке. каждая точка пересечения должна быть уникальной для пары прямых.

для того чтобы изобразить такие прямые, можно последовательно рисовать их, убеждаясь в соблюдении этих условий:
1. нарисуйте первую прямую $L_1$.
2. нарисуйте вторую прямую $L_2$, пересекающую $L_1$ в одной точке.
3. нарисуйте третью прямую $L_3$, пересекающую $L_1$ и $L_2$ в двух новых, отдельных точках (то есть $L_3$ не должна проходить через точку пересечения $L_1$ и $L_2$).
4. нарисуйте четвертую прямую $L_4$, пересекающую $L_1$, $L_2$ и $L_3$ в трех новых, отдельных точках (то есть $L_4$ не должна проходить ни через одну из ранее образованных точек пересечения).
5. нарисуйте пятую прямую $L_5$, пересекающую $L_1$, $L_2$, $L_3$ и $L_4$ в четырех новых, отдельных точках (то есть $L_5$ не должна проходить ни через одну из ранее образованных точек пересечения).

таким образом, каждая новая прямая будет добавлять $k-1$ новых точек пересечения, где $k$ - номер добавляемой прямой.
первая прямая: $0$ точек.
вторая прямая: $1$ точка.
третья прямая: $2$ точки.
четвертая прямая: $3$ точки.
пятая прямая: $4$ точки.
общее количество точек: $0+1+2+3+4 = 10$.

Ответ:

чтобы получить десять точек попарных пересечений от пяти прямых, необходимо расположить их таким образом, чтобы никакие две прямые не были параллельны, и никакие три прямые не пересекались в одной точке.