Страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Простая замкнутая ломаная имеет 20 сторон. Сколько у нее вершин?

Дано:

Число сторон простой замкнутой ломаной: $n = 20$.

(Перевод в систему СИ не требуется, так как задача о количестве геометрических элементов.)

Найти:

Число вершин ломаной: $v$.

Решение:

Простая замкнутая ломаная, у которой количество начальных и конечных точек совпадает, образует многоугольник. В любом многоугольнике количество сторон всегда равно количеству вершин.

Обозначим количество сторон ломаной как $n$, а количество вершин как $v$.

Для простой замкнутой ломаной зависимость между количеством сторон и вершин выражается формулой:

$v = n$

Подставим заданное значение количества сторон в эту формулу:

$v = 20$

Таким образом, простая замкнутая ломаная, имеющая 20 сторон, также имеет 20 вершин.

Ответ:

У простой замкнутой ломаной с 20 сторонами 20 вершин.

26. Изобразите замкнутую пятистороннюю ломаную, которая имеет:

а) две точки самопересечения;

б) три точки самопересечения;

в) пять точек самопересечения.

Задача требует построения геометрических фигур (замкнутых пятисторонних ломаных) с определенным количеством самопересечений. Поскольку невозможно предоставить графические изображения в данном формате, ниже приведены словесные описания того, как можно было бы построить такие фигуры. Для наглядности рекомендуется нарисовать их, следуя описаниям.

а) две точки самопересечения:

Чтобы изобразить замкнутую пятистороннюю ломаную с двумя точками самопересечения, выполните следующие шаги:
1. Расположите пять вершин ломаной: $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$.
2. Начните с $V_1$. Проведите первый отрезок $V_1V_2$.
3. Проведите второй отрезок $V_2V_3$.
4. Проведите третий отрезок $V_3V_4$ таким образом, чтобы он пересек отрезок $V_1V_2$. Это будет первая точка самопересечения.
5. Проведите четвертый отрезок $V_4V_5$ так, чтобы он не пересекал ни $V_1V_2$, ни $V_2V_3$, ни $V_3V_4$ (кроме вершин).
6. Проведите пятый отрезок $V_5V_1$, замыкающий ломаную. Этот отрезок должен пересечь отрезок $V_2V_3$. Это будет вторая точка самопересечения. При этом он не должен пересекать $V_1V_2$, $V_3V_4$ или $V_4V_5$ (кроме вершины $V_5$).
Таким образом, формируется замкнутая пятисторонняя ломаная с двумя точками самопересечения.

Ответ: Описание построения замкнутой пятисторонней ломаной с двумя точками самопересечения.

б) три точки самопересечения:

Чтобы изобразить замкнутую пятистороннюю ломаную с тремя точками самопересечения, выполните следующие шаги:
1. Расположите пять вершин ломаной: $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$.
2. Начните с трех вершин, образующих треугольник: $V_1, V_2, V_3$.
3. Из $V_3$ проведите отрезок $V_3V_4$ таким образом, чтобы он пересек отрезок $V_1V_2$. Это первая точка самопересечения.
4. Из $V_4$ проведите отрезок $V_4V_5$ таким образом, чтобы он пересек отрезок $V_2V_3$. Это вторая точка самопересечения.
5. Из $V_5$ проведите отрезок $V_5V_1$, который замыкает ломаную. Этот отрезок должен пересечь отрезок $V_3V_4$. Это третья точка самопересечения.
В результате получится фигура, напоминающая треугольник с тремя внутренними "петлями" или "хвостами", каждый из которых пересекает другую сторону.

Ответ: Описание построения замкнутой пятисторонней ломаной с тремя точками самопересечения.

в) пять точек самопересечения:

Чтобы изобразить замкнутую пятистороннюю ломаную с пятью точками самопересечения, известную как пентаграмма (или пятиконечная звезда), выполните следующие шаги:
1. Расположите пять вершин $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$ по окружности, как вершины правильного пятиугольника.
2. Соедините вершины "через одну" в следующем порядке:
$V_1 \to V_3 \to V_5 \to V_2 \to V_4 \to V_1$.
Каждый отрезок этой ломаной будет пересекать два других не смежных с ним отрезка. Все пять точек самопересечения будут расположены внутри фигуры, образуя в центре правильный пятиугольник.

Ответ: Описание построения замкнутой пятисторонней ломаной (пентаграммы) с пятью точками самопересечения.

27. Нарисуйте правильный:

а) треугольник;

б) четырехугольник;

в) пятиугольник;

г) шестиугольник.

Проверьте правильность нарисованных многоугольников с помощью линейки и транспортира.

Решение

Для построения правильного многоугольника необходимо помнить, что все его стороны имеют одинаковую длину и все внутренние углы равны по величине. Величина каждого внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника может быть рассчитана по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. После построения, для проверки правильности многоугольника используются линейка (для измерения длин сторон) и транспортир (для измерения величин углов).

а) треугольник

Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Он имеет $n = 3$ стороны.

Каждый внутренний угол равностороннего треугольника равен: $\alpha = \frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = \frac{1 \times 180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Построение: начертите отрезок, который будет одной из сторон треугольника. Установите циркуль на длину этого отрезка. Из каждой из двух вершин отрезка проведите дуги так, чтобы они пересеклись. Точка пересечения дуг будет третьей вершиной треугольника. Соедините эту точку с концами исходного отрезка.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех трех сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все три внутренних угла - каждый из них должен быть равен $60^\circ$.

Ответ:

б) четырехугольник

Правильный четырехугольник - это квадрат. Он имеет $n = 4$ стороны.

Каждый внутренний угол квадрата равен: $\alpha = \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = \frac{2 \times 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Построение: начертите отрезок. В каждом из его концов постройте перпендикуляры (например, с помощью угольника или транспортира) той же длины, что и исходный отрезок. Соедините концы этих перпендикуляров, чтобы замкнуть фигуру.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех четырех сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все четыре внутренних угла - каждый из них должен быть равен $90^\circ$.

Ответ:

в) пятиугольник

Правильный пятиугольник имеет $n = 5$ сторон.

Каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен: $\alpha = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.

Построение: начертите окружность и отметьте её центр. Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам, равен $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Отметьте первую точку на окружности. Используя транспортир, отложите от центра углы по $72^\circ$ (считая от первого радиуса) для каждой из пяти вершин. Соедините полученные пять точек на окружности последовательно.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех пяти сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все пять внутренних углов - каждый из них должен быть равен $108^\circ$.

Ответ:

г) шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет $n = 6$ сторон.

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен: $\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Построение: начертите окружность. Важным свойством правильного шестиугольника, вписанного в окружность, является то, что длина его стороны равна радиусу этой окружности. Отметьте любую точку на окружности. Установите циркуль на радиус окружности. От этой точки, не меняя раствора циркуля, отмеряйте последовательно шесть точек по окружности. Соедините эти шесть точек последовательно.

Проверка: с помощью линейки измерьте длины всех шести сторон - они должны быть одинаковыми. С помощью транспортира измерьте все шесть внутренних углов - каждый из них должен быть равен $120^\circ$.

Ответ:

28. На сколько треугольников делится выпуклый:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник;

г) $n$-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

Дано: Выпуклый многоугольник.

Найти: Количество треугольников, на которое делится многоугольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины.

Решение:

Рассмотрим выпуклый $n$-угольник. Пусть $n$ — количество его вершин (и сторон). Если мы выбираем одну вершину многоугольника, из нее можно провести диагонали ко всем другим вершинам, кроме самой этой вершины и двух ее соседних вершин (так как отрезки до соседних вершин являются сторонами многоугольника, а не диагоналями). Таким образом, количество диагоналей, которые можно провести из одной вершины $n$-угольника, равно $n - 3$.

Эти $n - 3$ диагонали делят $n$-угольник на некоторое количество треугольников. Каждая проведенная диагональ вместе со стороной многоугольника и еще одной диагональю (или стороной) образует треугольник. Количество треугольников всегда на 1 больше, чем количество проведенных диагоналей из одной вершины. Таким образом, $n-3$ диагонали делят $n$-угольник на $(n-3)+1 = n-2$ треугольника.

а) четырехугольник;

Для четырехугольника количество вершин $n=4$.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3 = 4 - 3 = 1$.

Количество треугольников, на которое делится четырехугольник, равно $n - 2 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

б) пятиугольник;

Для пятиугольника количество вершин $n=5$.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3 = 5 - 3 = 2$.

Количество треугольников, на которое делится пятиугольник, равно $n - 2 = 5 - 2 = 3$.

Ответ: 3

в) шестиугольник;

Для шестиугольника количество вершин $n=6$.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3 = 6 - 3 = 3$.

Количество треугольников, на которое делится шестиугольник, равно $n - 2 = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4

г) n-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

Для $n$-угольника.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3$.

Количество треугольников, на которое делится $n$-угольник, равно $n - 2$.

Это соотношение можно наглядно показать следующим образом: если из одной вершины $V_1$ проведено $k$ диагоналей, то они делят многоугольник на $k+1$ треугольников. Поскольку $k = n-3$, то количество треугольников равно $(n-3)+1 = n-2$. Эти треугольники будут иметь общую вершину $V_1$ и их основаниями будут последовательные стороны многоугольника, не содержащие $V_1$: $V_2V_3$, $V_3V_4$, ..., $V_{n-1}V_n$. Соответственно, треугольниками будут $\triangle V_1V_2V_3$, $\triangle V_1V_3V_4$, ..., $\triangle V_1V_{n-1}V_n$. Всего таких треугольников $n-2$.

Ответ: $n-2$

29. Сколько всего диагоналей имеет:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник?

Дано:

Многоугольники с разным количеством сторон.

Найти:

Количество диагоналей для:

a) четырехугольника

б) пятиугольника

в) шестиугольника

Решение:

Для определения количества диагоналей в многоугольнике с $n$ сторонами (и, соответственно, $n$ вершинами) используется следующая формула:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Где $D$ - количество диагоналей, $n$ - количество сторон многоугольника.

a) четырехугольник

Для четырехугольника количество сторон $n=4$.

Используем формулу: $D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2

б) пятиугольник

Для пятиугольника количество сторон $n=5$.

Используем формулу: $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5

в) шестиугольник

Для шестиугольника количество сторон $n=6$.

Используем формулу: $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: 9

30. Чему равны углы правильного:
а) треугольника;
б) четырехугольника;
в) пятиугольника;
г) шестиугольника?

а) треугольника

Дано:

Правильный треугольник. Число сторон: $n=3$.

Найти:

Величина каждого угла правильного треугольника.

Решение:

Для правильного $n$-угольника величина каждого внутреннего угла $\alpha$ вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Подставляем значение $n=3$ для правильного треугольника: $\alpha = \frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = \frac{1 \times 180^\circ}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) четырехугольника

Дано:

Правильный четырехугольник (квадрат). Число сторон: $n=4$.

Найти:

Величина каждого угла правильного четырехугольника.

Решение:

Используем формулу для каждого внутреннего угла правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Подставляем значение $n=4$ для правильного четырехугольника: $\alpha = \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = \frac{2 \times 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

в) пятиугольника

Дано:

Правильный пятиугольник. Число сторон: $n=5$.

Найти:

Величина каждого угла правильного пятиугольника.

Решение:

Используем формулу для каждого внутреннего угла правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Подставляем значение $n=5$ для правильного пятиугольника: $\alpha = \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{3 \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$

г) шестиугольника

Дано:

Правильный шестиугольник. Число сторон: $n=6$.

Найти:

Величина каждого угла правильного шестиугольника.

Решение:

Используем формулу для каждого внутреннего угла правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Подставляем значение $n=6$ для правильного шестиугольника: $\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

31. Сумма углов выпуклого многоугольника равна $900^\circ$. Сколько у него сторон?

Дано

сумма углов выпуклого многоугольника $S = 900^\circ$

Найти:

количество сторон многоугольника $n$

Решение

сумма углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле:

$S = (n-2) \times 180^\circ$

подставляем известное значение суммы углов в формулу:

$900^\circ = (n-2) \times 180^\circ$

разделим обе части уравнения на $180^\circ$:

$\frac{900^\circ}{180^\circ} = n-2$

$5 = n-2$

чтобы найти $n$, прибавим $2$ к обеим частям уравнения:

$n = 5 + 2$

$n = 7$

таким образом, у многоугольника 7 сторон.

Ответ:

7

32. Найдите внешние углы правильного:

а) четырехугольника;

б) пятиугольника;

в) шестиугольника;

г) восьмиугольника.

a) четырехугольника

Дано:

Правильный четырехугольник.

Количество сторон $n = 4$.

Найти:

Внешний угол $\alpha_{ext}$.

Решение:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Следовательно, внешний угол правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{n}$.

Для правильного четырехугольника ($n=4$):

$\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$

б) пятиугольника

Дано:

Правильный пятиугольник.

Количество сторон $n = 5$.

Найти:

Внешний угол $\alpha_{ext}$.

Решение:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Следовательно, внешний угол правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{n}$.

Для правильного пятиугольника ($n=5$):

$\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$

Ответ: $72^\circ$

в) шестиугольника

Дано:

Правильный шестиугольник.

Количество сторон $n = 6$.

Найти:

Внешний угол $\alpha_{ext}$.

Решение:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Следовательно, внешний угол правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{n}$.

Для правильного шестиугольника ($n=6$):

$\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$

г) восьмиугольника

Дано:

Правильный восьмиугольник.

Количество сторон $n = 8$.

Найти:

Внешний угол $\alpha_{ext}$.

Решение:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Следовательно, внешний угол правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{n}$.

Для правильного восьмиугольника ($n=8$):

$\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$