Номер 28, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

28. На сколько треугольников делится выпуклый:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник;

г) $n$-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

Дано: Выпуклый многоугольник.

Найти: Количество треугольников, на которое делится многоугольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины.

Решение:

Рассмотрим выпуклый $n$-угольник. Пусть $n$ — количество его вершин (и сторон). Если мы выбираем одну вершину многоугольника, из нее можно провести диагонали ко всем другим вершинам, кроме самой этой вершины и двух ее соседних вершин (так как отрезки до соседних вершин являются сторонами многоугольника, а не диагоналями). Таким образом, количество диагоналей, которые можно провести из одной вершины $n$-угольника, равно $n - 3$.

Эти $n - 3$ диагонали делят $n$-угольник на некоторое количество треугольников. Каждая проведенная диагональ вместе со стороной многоугольника и еще одной диагональю (или стороной) образует треугольник. Количество треугольников всегда на 1 больше, чем количество проведенных диагоналей из одной вершины. Таким образом, $n-3$ диагонали делят $n$-угольник на $(n-3)+1 = n-2$ треугольника.

а) четырехугольник;

Для четырехугольника количество вершин $n=4$.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3 = 4 - 3 = 1$.

Количество треугольников, на которое делится четырехугольник, равно $n - 2 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

б) пятиугольник;

Для пятиугольника количество вершин $n=5$.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3 = 5 - 3 = 2$.

Количество треугольников, на которое делится пятиугольник, равно $n - 2 = 5 - 2 = 3$.

Ответ: 3

в) шестиугольник;

Для шестиугольника количество вершин $n=6$.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3 = 6 - 3 = 3$.

Количество треугольников, на которое делится шестиугольник, равно $n - 2 = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4

г) n-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

Для $n$-угольника.

Количество диагоналей, проведенных из одной вершины, равно $n - 3$.

Количество треугольников, на которое делится $n$-угольник, равно $n - 2$.

Это соотношение можно наглядно показать следующим образом: если из одной вершины $V_1$ проведено $k$ диагоналей, то они делят многоугольник на $k+1$ треугольников. Поскольку $k = n-3$, то количество треугольников равно $(n-3)+1 = n-2$. Эти треугольники будут иметь общую вершину $V_1$ и их основаниями будут последовательные стороны многоугольника, не содержащие $V_1$: $V_2V_3$, $V_3V_4$, ..., $V_{n-1}V_n$. Соответственно, треугольниками будут $\triangle V_1V_2V_3$, $\triangle V_1V_3V_4$, ..., $\triangle V_1V_{n-1}V_n$. Всего таких треугольников $n-2$.

Ответ: $n-2$